Nombres complexes

La principale méthode utilisée est celle qui consiste à passer d’une forme d’écriture à une autre, en utilisant les règles usuelles de calcul dans . Une méthode auxiliaire – mise en œuvre dans l’exercice 51 – consiste à utiliser les fonctions inverses des fonctions cosinus et sinus, à partir d’une calculatrice. Cela, afin de donner des valeurs approchées des arguments de certains nombres complexes. Dans l’exercice 53, ce sont les valeurs exactes des cosinus et sinus de l’argument de z qui sont cherchées à partir de celles de . Trois exercices sont en marge de la classification précédente. Ce sont les exercices 48, 62 et 54. Les deux premiers visent à démontrer ou redémontrer des propriétés qui sont à connaître. Dans l’exercice 48, on démontre l’inégalité triangulaire relative à la somme de deux complexes à partir de l’inégalité triangulaire relative à la distance entre points du plan euclidien. Dans l’exercice 62, il s’agit de retrouver les formules trigonométriques d’addition à partir des propriétés de l’exponentielle, étendues aux complexes de la forme où . L’exercice 54 est plus original, il crée une interrelation – nouvelle pour des élèves – entre le produit de deux complexes et certaines transformations du plan (les similitudes directes de centre ).Les exercices 92 – … – 95 sont consacrés à la fonctionnalisation des outils complexes à l’étude de configurations du plan.

Dans ces exercices, les détails des calculs permettant d’établir la propriété géométrique visée, ne sont pas toujours pris en charge par l’énoncé et parfois laissés à l’initiative des élèves (ex. 92). Plusieurs méthodes (ensemble de techniques ayant une certaine généralité) sont mises en œuvre. En particulier, la méthode de recherche de lieux géométriques associés aux deux lieux classiques précédemment évoqués. La méthode « du passage en cordonnées cartésiennes » est aussi mobilisée pour identifier certains lieux. Pour la question 2, voici deux réponses possibles.L’exercice 52 est déconcertant (pour un élève) car l’expression algébrique de  conduit à une forme trigonométrique « inexploitable », les valeurs des cosinus et sinus n’étant pas des valeurs remarquables.On peut remarquer que l’utilisation d’une calculatrice donne une va de  égale à 0,261799… rd ; valeur quasiment impossible à « interpréter » par un élève. Une « inspiration » consisterait à conjecturer une fraction de  et à diviser le résultat par  … pour trouver 0,0833333333333…Technique 2 : on cherche la forme trigonométrique avant de calculer la puissance et on utilise la propriété : arg() = .Ici, la nature de l’expression de  en fonction de, ne permet pas de retrouver l’une des transformations classiques du plan. (En fait,  est ce qu’on appelle une transformation homographique de  dont l’étude n’est pas au programme des classes de lycée.)

Remarque : si on note l’application de dans qui à associe et l’application du plan épointé qui lui est associée, alors transforme une droite en un cercle. L’exercice 92 est un bon exemple de fonctionnalisation de l’outil complexe. L’absence d’indication de l’énoncé rend cette utilisation problématique (mais formatrice évidemment). Le placement des 4 points donne :est-il un corps ordonné (i.e. muni d’un ordre total compatible avec les opérations et qui prolonge l’ordre de ) ? Rép. Non, dans le sens suivant. On peut définir un ordre total sur mais il n’est pas compatible avec la multiplication dans . Supposons le contraire et notons cet ordre. Si , alors en multipliant par les deux membres de cette inégalité, on obtient une inégalité de même sens : . Ce qui n’est pas cohérent avec l’ordre naturel de . Si , en multipliant par , on obtient, en inversant cette fois le sens de l’inégalité : . 3. Quelles sont les transformations du plan associées à : ? 4. Équation d’un cercle dans ? D’une droite ? 5. Un nombre complexe a-t-il toujours une racine carrée ? Expliquer. Une racine cubique ? Une racine n-ième ?