Reconstruction stochastique par algorithme du recuit simulé

 Reconstruction stochastique par algorithme du recuit simulé

L’avantage principal de l’algorithme du recuit simulé aléatoire, est de permettre de construire une solution « optimale » en minimisant une fonction d’énergie, appelée aussi fonction du coût ou fonction d’objectif. Il a l’inconvénient d’une convergence lente. La structure tridimensionnelle est constituée d’un réseau ou grille de sites, appelés aussi nœuds ou voxels, à chacun desquels est attribué une valeur qui représente l’état de ce site. Dans les paragraphes suivantes nous définissons les concepts élémentaires qui servent à établir les informations morphologiques, notamment les différents modes de corrélation npoints et la fonction du chemin linéaire. Un paragraphe est consacré à la description de la procédure de minimisation par le schéma du recuit simulé et l’explication de différentes étapes de l’algorithme de la reconstruction. Sont ensuite exposés des exemples de reconstruction de structures de l’ordre à longue et à courte distance. La conclusion donne un aperçu des avantages et des inconvénients de cette méthode d’optimisation ainsi que sur les perspectives d’emploi. 

Concepts morphologiques élémentaires

Dans la littérature on trouve plusieurs types de descripteurs statistiques qui peuvent être choisis comme fonction de référence [1], toutefois le travail présenté ci-après se limite à l’usage de la fonction de corrélation 2-points et à la fonction du chemin linéaire. Ces deux sources d’informations morphologiques sont assez simples d’utilisation et elles contiennent suffisamment d’informations sur la structure pour l’usage que nous envisageons.

Fonction de corrélation 1-point

Dans un milieu binaire bi-phasique d’une taille totale Vtot dans lequel la phase A occupe une fraction φ A de ce volume ainsi que la phase B occupe la fraction complémentaire φ B de façon que φ φ BA =+ 1, la fonction de corrélation 1-point (connue aussi comme la fonction de phase ou la fonction indicateur) est définie comme : 

Surface volumique

La surface volumique s d’un milieu bi-phasique peut être définie comme l’aire de l’interface phase1-phase2 divisée par le volume total unitaire du milieu (ce milieu étant supposé représenté une masse de matériau). L’unité de s est l’inverse d’une longueur et c’est une mesure caractéristique importante du milieu. En fait, il est montré que la pente de la fonction de corrélation 2-point prend, quand r = 0 , peu importe la phase, la valeur de − s 4/ dans l’espace tridimensionnelle, et en général : 

Fonction du chemin linéaire

La fonction de corrélation 2-points ne peut pas à elle seule définir complètement un matériau hétérogène bi-phasique. Un autre descripteur morphologique de la structure d’un milieu dispersé est la fonction du chemin linéaire (en anglais, Lineal-path function). Dans une structure quelconque qui se compose de deux phases, la fonction de chemin linéaire ( ) 1 2 ( ) L r,r i r r est définie comme la probabilité de trouver tous les points d’un vecteur 1 2 R r r r r r = − dans la même phase .our résumer, la procédure de l’évaluation de la fonction L (R) P d’une phase est faite pour un pixel d’une phase donnée par mesure de la distance en pixels entre ce pixel et le pixel le plus proche contenu dans la phase opposée dans une direction. Il faut balayer la totalité de l’image, compter le nombre des essais dans lesquelles tous les points (pixels) de cette ligne se trouvent dans la même phase concernée, et à la fin des opérations diviser ce nombre par le nombre total des essais accomplies (ce nombre correspond à la taille du milieu quand l’on parle d’un domaine périodique). 

Fonction de percolation de volume 

La percolation traduit le passage d’une information entre deux points d’un système. Dans le cas d’un corps poreux la percolation représente la pénétration des pores entre deux faces du matériau. Ce principe est illustré en Figure II–11. Les pores isolés rencontrés dans le matériau sont présents normalement mais ne contribuent pas à l’écoulement. Ainsi, la fraction de volume des pores à travers lequel le fluide peut percoler est très importante lors de l’étude de l’écoulement car elle montre le degré de connexion de l’espace pores. La fraction de percolation de volume P f : = φ ×φ′ P f (Eq. II-14) φ le volume total des pores et φ′ le volume des pores en connexion.  

Fonction d’amas 2-points

 La fonction d’amas 2-points (en anglais : 2-points cluster function) ( ) 1 2 ( ) C x , x i est définie comme la probabilité de trouver deux points 1 2 x , x choisis aléatoirement, dans le même amas (cluster) d’une phase i. Elle est applicable à une structure tridimensionnelle.

Fonction de distribution de la taille des pores

 La fonction de distribution de la taille des pores (en anglais : size distribution function) P(δ ) est définie comme la probabilité de trouver un point de la phase de pores à une distance entre δ et δ + dδ du point le plus proche de l’interface solide/pore. Cette fonction est différente de la distribution de taille de pore obtenue directement par la technique du porosimètre à mercure. Cette fonction est applicable à l’analyse de la structure résultante de la reconstruction tridimensionnelle [41].

Cours gratuitTélécharger le cours complet

Télécharger aussi :

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *