Existence et unicité

Existence et unicité de la solution du problème à l’échelle microscopique

Nous utilisons un théorème classique d’algèbre, que nous adaptons au cas complexe. Théorème Brezzi. Considérons le problème variationnel mixte suivant : Trouver (u,λ ) dans H M× tels que : ( ) ( ) ( ) , , , , , a u v b v f v v H b u g M λ µ µ µ + = ∀ ∈= ∀ ∈ (A.1) Si les conditions i) et ii) sont vérifiées i)∃ > α 0 tel que ( ( )) 2 ℜ ≥ a v v v , α , ∀ ∈v V (A.2) ii) La forme sesquilinéaire b satisfait à la condition Inf sup − suivante : il existe β > 0 tel que ( ) 0 0 , inf sup 0 v X M v X M b v µ v µ µ β ∈ ∈ µ ≠ ≠ ≥ ≥ (A.3) Alors ( f g H M , )∈ ×′ ′ , le problème précédent possède une unique solution (u H M ,λ )∈ × . Théorème Lax-Milgram Soient H un espace de Hilbert complexe, a u v ( , ) une forme sesquilinéaire continue sur H H × , et L une forme linéaire continue sur H . Nous supposons de plus qu’il existe α > 0 tel que ( ) 2 , V a v v v ≥α , ∀ ∈v H (A.4) ou tel que ( ( )) 2 ℜ ≥ a v v v , α , ∀ ∈v H (A.5) Alors le problème suivant Trouver u tel que∀ ∈v H , ( ) ( ) 0 a L τ ,w w = admet une unique solution.  A.1. Le problème fluide en déplacement Trouver 0 u ∈ Ε telle que : ( ) ( ) 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 , f f f y y x s a u w L w ρ ω ωη ρ ω u wd i u wd p u wd Ω Ω Ω Ω − ∇ ∇ Ω = ∇ − Ω      

(A.6) Démonstration

Pour tout w H ∈ , nous avons : ( ) 0 , f f i i i i j j u v a u v d i u v d y y ωρ Ω Ω ∂ ∂ = Ω + Ω ∂ ∂   (A.7) où a ( , ) une forme sesquilinéaire. Vérifions si a ( , ) est continue c’est-à-dire : ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 , H H a u w u w α Ω Ω ≤ ( ) 0 0 0 2 0 , f f i i i i j j u w a u w d u w d y y η ρ ω Ω Ω ∂ ∂ ≤ Ω + Ω ∂ ∂   ( ) 0 0 2 0 sup , f f i i i i j j u w d u w d y y η ρ ω Ω Ω  ∂ ∂ ≤ Ω + Ω   ∂ ∂     or ( ) ( ) 1 1 0 0 f i i i i H H j j u w d u w y y Ω Ω Ω ∂ ∂ Ω ≤ ∂ ∂  ( ) ( ) 1 1 0 0 f i i i i H H u w d u w Ω Ω Ω Ω ≤  D’où ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 2 0 , 2sup , i i H H a u w u w η ρ ω Ω Ω ≤ Elle est donc continue Voyons si a ( , ) est coercive : il faut montrer qu’il existe β ∈ + tel que ( ) ( ) 1 a u u u H , β Ω ≥ , pour tout ( ) 1 0 u H ∈ Ω . ( ) 2 0 2 0 0 0 2 0 , , , f f i i i j i j j u a u u d u d y η ρ ω Ω Ω ∂ = Ω + Ω ∂     ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 0 0 0 0 2 0 , i i L L a u u u u η ρ ω   Ω Ω     = ∇ +  D’où nous obtenons que : ( ) ( ) 3 2 0 0 0 2 , i L a u u u η  Ω   ≥ ∇ ( ) 3 2 0 i L u  Ω   ∇ est équivalente à ( ) 3 1 0 i H u  Ω   ∇ dans E Ainsi ( ) 0 0 0 2 , i E a u u u ≥ ∇ η Ce qui démontre la coercivité de a ( , ) . Nous avons donc bien existence et unicité de la solution du problème. A.2. Le problème fluide en température Trouver 0 τ ∈ H telle que : 0 0 0 0 f f f p d y y ρ ω τ τ ω i C wd K wd i p wd Ω Ω Ω    Ω + ∇ ∇ Ω = Ω (A.8) Démonstration : Posons ( ) 0 0 0 0 , f f p d y y a w i C wd K wd τ ρ ω τ τ Ω Ω = Ω + ∇ ∇ Ω   , ( ) 0 1 0 ,w H f ∀ ∈ Ω τ et ( ) 0 f L i p wd ϕ ω Ω = Ω  , ( ) 1 ∀ ∈ Ω w H0 f On munit ( ) 1 H Ωf du produit scalaire ( ) 0 0 , f w wd y y τ τ Ω = ∇ ∇ Ω  Alors a est une forme sesquilinéaire continue définie sur ( ) ( ) 1 1 H H Ω × Ω f f et L est une forme linéaire continue de ( ) 1 HDir f ˟ . De plus ( ( )) ( ) 1 0 2 , H a ℜ = θ θ θ ε ε ε Ω Le théorème de Lax-Milgram donne la coercivité de a .  A.3. Problème solide Le problème variationnel donnant 1 s u s’écrit alors : Trouver ( ) 1 0 N s u H ∈ Ω tel que ( ) ( ) * * 2 s s s s s λ µ u v d e u e v d f vd Ω Ω Ω    ∇⋅ ∇⋅ Ω + Ω = Ω (A.9) Pour pouvoir appliquer le Théorème de Lax-Milgram à la formulation variationnelle (A.10), la seule hypothèse délicate à vérifier est la coercivité de la forme bilinéaire. Nous procédons en trois étapes. Premièrement, montrons que ( ) ( ) 2 2 2 * * 2µ ε λ ν ε v d v d v d Ω Ω Ω    Ω + ∇⋅ Ω ≥ Ω avec ( ( )) * * * ν µ µ λ = + > 2 , 2 0 min N . Pour cela, nous utilisons une inégalité algébrique : si on note , 1 N ij ij i j A B a b =  =  le produit scalaire usuel des matrices symétriques, nous pouvons décomposer toute matrice réelle symétrique A sous la forme d h A A A = + avec d tr 1 A A AId N = − et h tr 1 A AId N = ; de telle manière que 0 d h A A = et 2 2 2 d h A A A = + . On a alors ( ) 2 2 2 2 2 * * * * * 2 2 2 d h µ λ µ µ λ ν A trA A N A A + = + + ≥ avec ( ( )) * * * ν µ µ λ 2 , 2 = + min N , ce qui donne le résultat pour A e u = ( ) . Le fait que ν 0 > n’est pas un hasard : les arguments mécaniques et thermodynamiques qui conduisent aux inégalités ν 0 > et ( ) * * 2 0 µ λ + > N sont précisément les mêmes. Deuxièmement, nous utilisons l’inégalité de Korn qui donne une constante C > 0 telle que ( ) 2 2 ε v d C v d Ω Ω   Ω ≥ ∇ Ω pour tout ( ) 1 0 N v H∈ Ω . Troisièmement, nous utilisons l’inégalité de Poincaré qui donne une constante C > 0 telle que, pour tout ( ) 1 0 N v H∈ Ω , 2 2 v d C v d Ω Ω   Ω ≤ ∇ Ω  Au total, ces trois inégalités conduisent à la coercivité ( ) ( ) 1 2 2 2 * * 2 H µ ε λ v d v d C v   Ω Ω Ω + ∇⋅ Ω ≥ Ω Le Théorème de Lax-Milgram donne donc l’existence et l’unicité de la solution de la formulation variationnelle (A.9). A.4. Etude du problème couplé Trouver ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 2 , s f u p H L   ×  ∈ Ω Ω tels que ( ) ( ) ( ) 3 1 2 v q H L ,    ∀ × ∈ Ω Ω nous avions 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 s s f s x x x n d p n d u d u d d p d u n d u d p d σ ϕ α ϕ ρ ω ϕ ρ ω ϕ σ ϕ α ϕ ψ ψ β ψ ∂Ω ∂Ω Ω Ω Ω Ω ∂Ω Ω Ω ⋅ Γ + ⋅ Γ = Ω + Ω + ∇ Ω + ∇ Ω ⋅ Γ = ∇ Ω + Ω               { } ( ) * 0 * 0 : 2 tr x s x s α λ µ ψ u Id e u d Ω  − ∇ ⋅ + Ω 
    (A.10) Nous se plaçons dans l’espace H f défini par : { ( ) } 3 1 H u H u sur f , 0 f = ∈ Ω ∇ ⋅ = Ω    La pression est alors le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte d’être dans H f . La démonstration se fait en deux étapes, nous commençons par montrer l’existence et l’unicité d’un déplacement f u H ∈ solution de (A.10), puis nous revenons à l’étude de (A.10) sur ( ) 3 1  H Ω   afin d’obtenir la pression 0 p (voir démonstration Adeline Augier [13]).