Compaction d’une colonne de grains soumise à des cycles de température

 Présentation du dispositif 

Le montage expérimental est largement inspiré du dispositif décrit dans les références [27, 31]. Une colonne en verre de hauteur Hv = 1.5 m et de diamètre intérieur Dv = 1.5 cm est arrimée à un mur pour éviter les perturbations mécaniques extérieures (Fig. 2.1). Dans la plupart des expériences présentées dans ce chapitre, cette colonne est remplie d’un mélange de billes de verre (Matrasur Corp.) de diamètre compris entre 425 et 600 microns pour éviter la cristallisation de l’empilement. La masse totale de billes versées est de 370 grammes. Une arrivée d’air comprimé est placée en bas de la colonne. L’ouverture de cette arrivée permet de décompacter le matériau granulaire avant chaque expérience. La hauteur de la colonne de grains est de l’ordre de 135 cm. La capacité initiale correspondante est alors de 60.4%. Les sollicitations thermiques sont induites par un laser traversant la colonne en son centre. Ce l de 250 microns de diamètre est en Nickel. Il est alimenté par une source de courant contrôlée en tension. On peut donc choisir la forme, l’amplitude et la fréquence du courant injecté. Pour minimiser l’importance des variations de la température de la pièce sur le processus de compaction, on place la colonne dans une enceinte en bois (2m×1m×0.5m) dont la température est contrôlée au degré près grâce à une régulation thermique (RKC, Rex S-100). Une thermistance placée sur les parois du tube en verre permet de mesurer cette température. On suit le mouvement des grains à 5 hauteurs différentes à l’aide de 5 webcams (Logitech, Quickcam pro 9000) placées aux hauteurs hi (h1 = 5 cm, h2 = 35 cm, h3 = 64 cm, h4 = 92 cm, h5 = 134 cm). Chaque zone imagée est éclairée à l’aide d’une diode électroluminescence verte (Kingbright, L-7104VGC-H). Une photographie de la colonne est prise par chacune des caméras pour chaque cycle de température ce qui permet de déterminer les déplacements des grains à la paroi avec une résolution temporelle égale à la période de l’oscillation thermique. Les détails de la méthode sont discutés ci-dessous. 

Méthode de sollicitations thermiques

 L’intérêt de notre montage expérimental est de chauffer le matériau granulaire de manière contrôlée à partir du centre de la colonne. Ainsi par un choix judicieux de la fréquence, il est possible de supprimer les variations de température des parois extérieures. En effet, le matériau est chauffé au contact du l par et du Joule. En imposant un courant I composé d’une composante continue I0 et une composante sinusoïdale I1 (avec I1 << I0),Comme l’équation de la chaleur est une équation linéaire, le profil de température stationnaire au sein du matériau granulaire est la solution de cette équation avec forçage sinusoïdal superposée à un gradient de température stationnaire. Le profil de température résultant s’étend sur une longueur caractéristique lp donnée en ordre de grandeur par lp ∼ ( 2D ω ) 1/2 , où D est le coefficient de diffusion thermique du milieu granulaire. Ainsi, la fréquence f = ω 2π permet de contrôler le volume de grains chaué. En choisissant une fréquence telle que lp soit inférieure au rayon du tube, on peut changer périodiquement le matériau en maintenant la température du tube en verre constante. 

Calibration de la résistance du l température 

La résistance du l dépend de la température si bien que connaître ses variations constitue une sonde locale des variations de température. Compte tenu de la faible valeur de la résistance R ∼ 0.5Ω, nous utilisons la méthode de mesure en 4 ls. Elle consiste à mesurer simultanément le courant et la tension aux bornes du l permettant d’en déduire la valeur précise de la résistance. Ces variations de résistance doivent être converties en température. Au lieu de mesurer la valeur de la résistance pour différentes températures de la boîte régulée, nous décidons d’employer la méthode suivante. On coupe la régulation de température de l’enceinte. La température de l’ensemble (enceinte+matériau granulaire) se relaxe vers la température ambiante de la pièce Text. La température de l’air à l’intérieur de la boîte Ta est mesurée grâce à la thermistance placée sur la paroi du tube en verre. Les courbes obtenues sont reportées sur les gures 2.2 et 2.3.Ce système met en jeu deux masses thermiques : celle de l’air contenu dans la boîte et celle du matériau granulaire. Ainsi la relaxation de l’ensemble (enceinte+grains) vers l’équilibre n’est pas une simple relaxation exponentielle Une modélisation simple du système thermique considérant 2 sous-systèmes (le premier constitué des grains et du l, le second de l’air contenu dans l’enceinte) permet de conclure que la température de la thermistance est égale à la température des grains. De cette mesure, on peut déduire la relation linéaire liant les variations de résistance et les variations de la température du l. On obtient : R = R0 + ζ(T − T0) (2.1) avec ζ = (2.01 + 0.01) × 10−3ΩK−1 et R0 = (0.5274 + 0.0001)Ω. Discussion de la qualité du chômage On veut connaître l’amplitude des cycles de température appliquée au matériau granulaire en fonction de l’amplitude du courant I1. Pour cela, nous mesurons la résistance du l. Afin de synchroniser les mesures de la tension et du courant aux bornes du l, nous utilisons deux multimètres (Agilent, 34410A) que nous déclenchons simultanément. Nous utilisons les mémoires internes de ces appareils pour échantillonner les mesures à intervalle régulier. Une courbe de résistance typique est présentée sur la – gure 2.4. Nous interpolons ensuite ces points par une fonction de la forme R = a + b + c cos(ωt) + d sin(ωt) + e cos(2ωt) + f cos(2ωt) (Le coefficient b correspond à une petite dérive de la température du l). On observe, sur la guerre 2.5, que l’amplitude des variations de résistance croît linéairement avec l’amplitude de la composante sinusoïdale du courant injecté I 1. De plus, cette interpolation nous permet de déduire le poids relatif de l’harmonique 2 dans l’amplitude totale du signal. Dans la gamme de courant explorée, ce poids relatif n’excède pas 7%. En définitive, nous pouvons par cette méthode impose une variation raisonnablement sinusoïdale de la température du l Limités en fréquence L’extension spatiale typique du profil de température à la fréquence ω est de l’ordre de lp ∼ ( 2D ω ) 1/2 . Cependant, le système est ici à géométrie cylindrique. La solution exacte met donc en jeu les fonctions de Bessel changeant les pré facteurs de cette expression. Pour connaître la fréquence limite au-delà de laquelle la paroi du récipient est sensible à l’onde de température, on colle une thermistance sur les parois du tube en verre. Pour ω =2π×10−3 rad.s−1 , on mesure que la température de la paroi n’est pas constante. On obtient donc un coefficient de diffusivité pour le mélange grains air de l’ordre de 1.7×10−7m2 .s−1 . Cette valeur est en accord avec les valeurs tabulées de la conductivité thermique et de la capacité calorique volumique des grains [28, 30]. Nous travaillerons désormais à une fréquence f > 0.005Hz ce qui assure que la température des parois est constante et qu’elles ne se dilatent pas. On étudie également la réponse en fréquence du système (l+grains). On excite thermiquement le système en lui injectant une puissance sinusoïdale 2RI0I1 cos(ωt). Une fois le régime stationnaire établi, on enregistre la température du l Tf . Dans le régime stationnaire, la température du l oscille à la pulsation ω. L’amplitude des cycles de température en fonction de la fréquence est tracée sur la gure 2.6. La fonction de transfert observée est un ltre passe bas. On peut comprendre qualitativement pourquoi le système (grains+l) présente un comportement en fréquence comme celui là. On note Cf la capacité calorique du l, cs la capacité calorique volumique du matériau granulaire, Hv la hauteur, ρs la masse volumique et Kv la conductivité thermique des grains. La résolution de l’équation de la chaleur nous apprend que l 2 pω = D.