INTRODUCTION 

L’étude de phénomène de propagation d’ondes dans le système cardiovasculaire a fait l’objet de nombreux travaux [1] [2] [3] [4]. Il est communément admis que dans les gros vaisseaux, le sang peut être assimilé à un fluide Newtonien. Notre étude porte sur l’interaction fluide solide. En particulier sur l’influence de la déformation élastique de paroi dans un écoulement pulsatiles. Pour cela la plus grande partie de ce travail s’articule sur la propriété rhéologique de la paroi dans la dynamique des écoulements. Plus précisément de l’écoulement non stationnaire. Nous avons mené donc des études théoriques et numériques de l’écoulement sanguin qu’on prend à titre d’illustration. Cette étude comporte quatre parties :
Dans la première partie nous allons voir le paramètre lié à la nature du fluide choisi pour modéliser le comportement du sang. Dans ce cas-là on parle du comportement Newtonien et son écoulement en régime stationnaire et non-stationnaire.
Dans la deuxième partie nous détaillons le paramètre caractérisant la nature et la géométrie de la paroi du conduit où se produit l’écoulement. Dans la présente étude, nous avons considéré que la paroi a un comportement élastique.
Dans la troisième partie, on passe au paramètre lié à la condition hydrodynamique et, en particulier, la force de gradients longitudinaux qui permettra la détermination du champ des vitesses de l’écoulement et des pressions. Pour cela si la résolution analytique des équations de Navier-stokes non-stationnaire s’avère difficile voire impossible. Le recours à la résolution numérique donc nécessaire.
En dernier partie, nous allons présenter le résultat de la simulation ainsi que l’analyse et les discussions.

PARAMETRES LIES AU FLUIDE

Description d’un fluide en mouvement 

Décrire le mouvement d’un fluide veut dire connaitre à chaque instant sa position, vitesse, accélération, Température, pression, masse volumique. Alors il est nécessaire de faire appel à :
 la description Lagrangienne :
Qui consiste à suivre la particule au cours de son déplacement
 la description d’Eulérienne :
Consiste à connaitre la vitesse de particule au cours du temps t à un endroit donné déterminée par ses coordonnées ().

Conservation de masse (équation de continuité) 

Soit un domaine fluide de masse volumique ρdélimitée par une surface fermée S (de Volume V) Soit tel que un vecteur unitaire normale à cette surface, orienté vers l’extérieur à la surface fermée. Le volume fluide à une masse.
Le débit massique calculé sur la surface S est égal à .
La conservation de la masse s’écrit :

Conservation de l’impulsion ou équation du mouvement 

D’après le principe fondamental de la dynamique, la variation temporelle de la quantité de mouvement d’un élément de volume V est égale à la somme des forces qui s’exercent sur cet élément de volume, soit.

PARAMETRES LIES A LA PAROI

Comportement rhéologique de la paroi 

En présences d’une onde, un élément de la membrane pariétale représenté sur la figure 1est soumis à 3 types des forces :
 La contrainte interne liée d’une part à la déformation et de la courbure de la paroi et d’autre part aux tensions initiales imposé dans la membrane mince (h<<a);
 Les forces du frottement visqueux dû au mouvement du fluide ;
 La force d’inertie liée à la masse de l’élément considéré.
Cependant il est nécessaire de remarquer que sous ces hypothèses les équations ne peuvent être linéarisées tant qu’une loi rhéologique précisant les relations entre contrainte et déformation ne sont pas postulées. Compte tenu des objectifs de cette étude (propagation de train d’ondes de faible amplitude superposé à une onde de forte amplitude)fixant un état de contrainte que l’on peut considérer comme statique, et des données sur le comportement rhéologique des artères et des tube en silicone utilisées dans le modèle expérimental ,une loi linéaire (au voisinage de loi statique initiale imposée) entre contrainte et déplacement a été postulée .La viscoélasticité des matériaux est introduite de façon heuristique, en prenant pour chaque fréquence des modules d’Young et coefficient de poisson ̃ à valeur complexe (principe de correspondance pour de comportement dynamique entre matériaux linéaire viscoélastique et matériaux linéaire purement élastique) cf. [9

PARAMETRES LIES AUX CONDITIONSHYDRODYNAMIQUES

Dynamique de fluide et condition aux limites 

Pour le fluide visqueux incompressible l’écoulement est régi par la loi de conservation de la quantité de mouvement et de la masse.
On se limite à la théorie des petites perturbations, autrement dit.

L’équation de dispersion dans le cas général 

Compte tenu des considérations énoncées dans l’introduction, il est intéressant de ne pas se limiter à ce cas particulier de grande longueur d’onde (ainsi que l’ont fait par ailleurs Morgan Kiely [9] et Chow-apter [10]) mais de développer une analyse plus générale. La méthode de calcul est cependant identique ; les expressions , non simplifiées sont introduite dans les deux conditions aux limites.

ANALYSES NUMERIQUES ET DISCUSSION

Équation de dispersion pour les grandes longueurs d’onde 

Dans le domaine de basse fréquence et en dehors d’éventuelles coupures (domaine de fréquence où la vitesse de phase des ondes devient infinie).les arguments des fonctions de Womersley sont petits et un développement limité permet de donner une solution numérique valable dans le cas de grande longueur d’onde. Nous supposerons qu’à la fréquence considéré λ>>> de sorte qu’à l’ordre 5 d’approximation en β les relations suivantes sont valables.
Être considéré comme parfait et l’analyse mathématique du problème se simplifie notablement. Cependant il y a ambiguïté dans le passage à la limite α dans l’équation de dispersion du fluide visqueux pour retrouver les modes de fluide parfait ( )Afin de confronter les conditions déduites de ce modèle théorique aux résultats expérimentaux obtenus dans les conditions de fonctionnement actuel sur le banc hydrodynamique construit au labo.

Remarque 

Les propriétés rhéologique et géométriques du tuyau ainsi que la viscosité du fluide sont telles que le paramètre χ est grand (condition également satisfaite dans les expériences in vivo.

Résultat numérique et discussion 

Le programme de calcul utilisé fait appel à deux sous programmes qui permettent de calculer, d’une part les fonctions de Bessel complexes, d’arguments complexes, qui interviennent dans le calcul de la fonction de Womersley, d’autre part, la racine complexe des polynômes de 4 è degrés à coefficient complexes(cf.(58)). Les quatre racines de cette équation bicarrée sont opposé deux à deux et le programme choisit le couple de solution à valeur réelles positives .A partir des valeurs réelles et imaginaires de ces deux racines, d’après(52) et compte tenu ; le programme à pour but de calculer la vitesse de phase.

Discussion 

Les résultats de cette analyse numérique, présentés sur les figures 10 et 11donne la variation de vitesse de phase réduite et de la transmission par longueur d’onde des deux modes en fonction de paramètres α de womersley, pour différentes valeurs des contraintes longitudinales et azimutalesnormalisées. Les caractéristiques obtenues diffèrent notablement de celle des travaux antérieurs. En effet, à contrainte longitudinale fixée, l’influence de la pression(ou contrainte azimutale) sur les comportements de deux modes est en accord avec le résultat d’Atabek et Lew [13] , mais met en évidence une variation de dispersion de mode d’Young en fonction de la pression, contraire à celle trouvée par Maxwell et Anliker [14].Il doit cependant être rappelé ici que ces auteur ont formulée des hypothèses de base différentes de celles de la présentes étude(viscosité du fluide négligée, mais prise en compte de l’épaisseur de la paroi par sa rigidité à la flexion) .D’autre part à pression imposée, l’influence de la tension longitudinale sur les caractéristiques de mode de propagation, sauf en ce qui concerne la dispersion de mode d’Young, est contraire aux résultats d’Atabek et Lew. Cette divergence peut résulter de la différence, notée précédemment, dans l’expression de la relation de dispersion analysée numériquement. L’ensemble de conclusions sur le comportement qualitatif des caractéristiques de propagation en fonction des contraintes initiales imposées est résumé sur la figure où le domaine de résultats divergents a été encadré en trait plein (d’Atabek et Lew) et pointillé Maxwell et Anliker.

Conclusions 

L’examen des courbes de dispersion et transmission présentées ici, amène à la conclusion qu’un modèle réaliste du comportement dynamique des vaisseaux sanguins doit tenir compte des effets de la pression transmise et de la tension longitudinale auxquelles est soumise la paroi vasculaire. En effet, la tension statique longitudinale est considérable si l’on en juge par le fait qu’un échantillon d’artère prélevé du milieu naturel diminue de longueur dans des proportions de l’ordre de 30à50%.De plus, compte tenu des caractéristiques géométriques des gros vaisseaux (rapport épaisseur-diamètre de l’ordre de ), la pression moyenne de l’ordre de 100mmHg correspond à une tension azimutale non négligeable eu égard au module d’élasticité pariétal. D’autre part, ces tensions sont fortement modulées à la fréquence de pulsation cardiaque de telle sorte qu’un sondage de propriétés élastiques des parois vasculaires à l’aide de propagation d’ondes artificielles doit satisfaire aux critères suivants :
a)Ces ondes doivent être de faible amplitude (par rapport à celle de l’impulsion cardiaque) de telle sorte que la perturbation du milieu étudié soit faible et qu’une analyse linéaire de la propagation soit possible
b) les trains d’ondes artificiels doivent être suffisamment brefs (par rapport à la période de cycle cardiaque) et se propager sur une distance suffisamment courte pour que le milieu puisse être considéré comme homogène et stationnaire.
c) L’excitation de deux modes de propagation(en particulier le mode de déplacement longitudinal) doit être suffisamment efficace. En effet, l’analyse présentée ici montre qu’il est hautement souhaitable d’acquérir des résultats expérimentaux dans le mode de Lamb si l’on veut déterminer le paramètre physique de système.
Dans la présente étude, l’analyse paramétrique de l’équation générale de propagation n’a été exploitée que dans la limite de grande longueur d’ondes dans le cas d’un matériau pariétal purement élastique et isotrope. Pour se rapprocher de conditions expérimentales rencontrées in vivo et dans les modèles hydrodynamiques, cette première étape doit être complétée par la prise en compte du caractère élastique du tuyau et de son anisotropie. De plus pour de hautes fréquences, cette théorie permet de tenir compte de la grandeur finie de la longueur d’onde.
Cependant, cette étude présente des lacunes en ne prenant pas compte :
-De l’épaisseur finie de la paroi,
-De la géométrie non cylindrique du tube
-De la vitesse du fluide, …
Il est néanmoins espéré qu’en confrontant ce modèle théorique simplifiée aux résultats expérimentaux sur banc hydrodynamiques puis par expérimentation in vivo sur l’animal, il soit possible d’aboutir à l’étude a traumatique du système cardiovasculaire à l’aide de propagations d’ondes artificielles

Table des matières

Nomenclature
Liste des figures
Liste de tableau
INTRODUCTION 
PARTIE I : PARAMETRES LIES AU FLUIDE
I-1) Description d’un fluide en mouvement
I-1-a) Conservation de masse (équation de continuité)
I-1-b) Conservation de l’impulsion ou équation du mouvement
I-1-c) Conservation du moment angulaire
I-1-d) Conservation de l’énergie du fluide
I-1-e)Equation des fluides isothermes
I-2) Comportement Newtonien
PARTIE II : PARAMETRES LIES A LA PAROI
II-1) Comportement rhéologique de la paroi
II-1-1) La contrainte interne liée d’une part à la déformation et de courbure de la paroi et d’autre part aux tensions initiales imposé dans la membrane mince (h<<a)
II-1-1-a)détermination de la courbure principale respectivement azimutale et axiale
II-1-1-b) Les composantes tangentielles et normales de résultante de contrainte interne agissant sur l’élément de surface R d𝜽d
II-1-2) Forces du frottement visqueux dû au mouvement du fluide
II-2) équation dynamique de la paroi
PARTIE III : PARAMETRES LIES AUX CONDITIONSHYDRODYNAMIQUES
III-1) Dynamique de fluide et condition aux limites
III-1-1) Détermination du champ de pression
III-1-2) Détermination du champ de vitesse
III-1-3) L’équation de dispersion dans le cas général
PARTIE IV : ANALYSES NUMERIQUES ET DISCUSSION
IV-1) Equation de dispersion pour les grandes longueurs d’onde
IV-1-1) Etude de quelques cas limites
IV-2-2) Résultat numérique et discussion
Discussion 
Conclusions 
ANNEXES
BIBLIOGRAPHIE