Quelques mots sur l’étude des équations déférentielles couplées

Il n’est pas possible d’exprimer analytiquement l’ensemble des solutions du systeme d’équations déférentielles µa plusieurs variables couplees 1.46. Certaines solutions parti- culiµeres peuvent toutefois etre etudiees, parmi lesquelles les solutions stationnaires, c’est- µa-dire celles qui, aprµes un regime transitoire, deviennent independantes du temps. D’un point de vue plus formel, si l’on considµere un systµeme de Equations déférentielles du premier ordre en temps (X1; ::;XN), on appelle solution stationnaire de ce systµeme tout N-uplet veriant la relation : @ @t 0 @ X1 :: XN 1 A = 0 : (1.57) Pour qu’une solution stationnaire corresponde µa un etat physique du systµeme, il faut qu’elle soit stable sous l’e®et d’une petite perturbation. On suppose donc que le N-uplet (X1; ::;XN), veri¯ant la condition 1.57, est soumis µa une variation innitesimale des pa- ramµetres, notee (x1; ::; xN).

En exécutant dans le systµeme d’equations initial la substitution (X1; ::;XN) ! (X1 +x1; ::;XN +xN) et en se limitant au premier ordre en x1; ::; xN, on obtient une equation déférentielle lineaire de la forme : @ @t 0 @ x1 :: xN 1 A = M 0 @ x1 :: xN 1 A : (1.58) Les solutions de cette equation sont les combinaisons lineaires des fonctions exp(¸1); ::; exp(¸N), oµu ¸1; ::; ¸N sont les valeurs propres de la matrice M. La condition de stabilite d’une so- lution stationnaire donnee s’ecrit alors : <e (¸i) < 0 8i 2 [1;N] : (1.59) Lorsque la solution etudiee est stable, la partie imaginaire des valeurs propres de M donne les frequences angulaires propres d’oscillation du système, qui sontegalement les frequences angulaires des oscillations qui accompagnent l’amortissement deseventuelles perturbations. La methode decrite ici peut etre etendue µa l’etude des regimes permanents, c’est-µa-dire les regimes pour lesquels certains paramµetres, aprµes une periode transitoire, oscillent µa une frequence constante grande devant l’inverse des temps caracteristiques de variation des autres paramµetres du systµeme. Il est alors possible, par un procede de moyenne temporelle, d’obtenir desequations di®erentielles pour les paramµetres lentement variables,equations dont on cherche ensuite les solutions stationnaires stables. Ce sont ces methodes que l’on se propose d’utiliser pour l’etude analytique desequations du laser en anneau µaetat solide.

Etude du cas monomode unidirectionnel

On s’interesse ici au cas oµu seul un mode est susceptible d’osciller dans la cavite. Cette situation peut par exemple survenir si l’on insµere une diode optique dans le laser en anneau [102]. Naturellement, une telle conguration n’est pas utilisable en tant que gyro- laser. Sonetude presente toutefois l’inter^et de mettre enevidence certains comportements importants du laser µaetat solide, qui perdurent au-delµa du cas monomode unidirectionnel (pics de demarrage, oscillations de relaxation…). Mise enequation Notre point de depart est le systµeme d’equations semi-classiques 1.43. On suppose que seul le mode ~E 1 est susceptible d’exister. On ne prend donc pas en consideration l’equation d’evolution de ~E 2, ni les termes de couplage entre modes. Avec ces hypothµeses, l’evolution de l’amplitude et celle de la phase de ~E 1 sont decouplees, et l’on ne s’interessera dans ce qui suit qu’µa la premiµere. Notre systµeme est donc decrit par les deuxequations di®erentielles reelles suivantes (oµu l’on a pose E = j~E 1j) : 8>>< >>: dE dt = ¡ ° 2 E + ¾l 2T NE ; dN dt = W ¡ N T1 ¡ aE2N 2T1 : (1.60) On remarque que la densite d’inversion de population N ne depend plus de z dans ces equations. Solution nulle, seuil du laser Un premier couple de solutions stationnaires du systµeme d’equations 1.60 est donne par (E = 0;N = WT1). Cette solution, appelee solution nulle, correspond µa l’absence d’emission laser. On montre [103] qu’elle est stable lorsque ° > WT1¾l=T , et instable dans le cas contraire. Le seuil du laser Wseuil correspond µa la valeur critique du taux de pompage optique W au-delµa de laquelle la solution nulle devient instable, ce qui s’ecrit : Wseuil = °T ¾lT1 : (1.61) L’excµes relatif de pompe au-dessus du seuil, note ´ et de¯ni en 1.47, permet de faire directement le lien entre lesequations et le dispositif experimental, sans avoir µa modeliser dans les details le processus de pompage optique. Pour cela, il su±t de mesurer le courant d’alimentation de la diode de pompe (I), ainsi que ce m^eme courant respectivement au seuil du laser (Is1) et au seuil de la diode de pompe (Is2). Une bonne estimation du paramµetre ´ est alors donnee par ´ = (I ¡ Is1)=(Is1 ¡ Is2).

Modµele simplie de la competition entre modes

On considµere dorenavant que les deux modes contrarotatifs sont a priori susceptibles d’osciller ensemble dans la cavite laser. Le phenomµene de competition entre modes ap- para^³t alors, µa cause du fait que les deux ondes se partagent les m^emes atomes ampli¯ca- teurs (le Nd-YAG est un milieu µa gain µaelargissement homogµene). Comme on va le voir, cette competition est exacerbee par la modulation spatiale du gain (ou reseau d’inversion de population). On se propose dans cette partie de decrire ce phenomµene de la maniµere la plus simpli¯ee possible. On suppose µa cette ¯n que le laser est au repos (­ = 0) et que les couplages lineaires dus µa la cavite passive (retrodi®usion) sont inexistants (m1 = m2 = 0). La di®erence de phase © est supposee constante dans le temps. Lesequations du laser 1.46 s’ecrivent avec ces hypothµeses : 8>>>>>>>< >>>>>>>: dE1 dt = ¡ ° 2 E1 + ¾ 2T µ E1 Z l 0 Ndz + E2 Z l 0 N cos(2kz + ©)dz ; dE2 dt = ¡ ° 2 E2 + ¾ 2T µ E2 Z l 0 Ndz + E1 Z l 0 N cos(2kz + ©)dz ; @N @t = W ¡ N T1 ¡ a 2T1 N £ E2 1 + E2 2 + 2E1E2 cos(2kz + ©) ¤ : (1.69) E®et du reseau d’inversion de population lorsque °T1 ¿ 1 On supposera dans cette partie (et dans cette partie seulement) que la duree de vie du niveau superieur de la transition laser est trµes courte devant celle du photon dans la cavite (ce qui s’ecrit avec nos notations °T1 ¿ 1). Lorsque cette hypothµese est veri¯ee, la densite d’inversion de population suit adiabatiquement les variations des champs, ce qui conduit, µa partir de la troisiµemeequation de 1.69, µa : N = WT1 1 + (a=2)[E2 1 + E2 2 + 2E1E2 cos(2kz + ©)] : (1.70) Il convient de noter ici que cette situation n’est pas celle qui se produit dans les lasers de type Nd-YAG (pour lesquels, on le rappelle, l’inertie du milieu µa gain ne peut ^etre negligee). Toutefois, sonetude permet de mettre enevidence l’émet destabilisateur du reseau d’inversion de population en reliant nosequations semi-classiques µa un modµele connu de competition entre modes [103]. On e®ectue pour cela une hypothµese supplemen- taire, µa savoir celle du faible taux de pompage optique (´ ¿ 1). On peut alorsecrire N sous la forme linearisee suivante :

On rappelle ici les principaux resultats de l’etude du systµeme d’equations 1.72 [103]. Lorsque la constante de couplage C, de¯nie comme le carre du rapport du coe±cient de saturation croisee au coe±cient d’autosaturation, soit avec nos notations C = (µ=¯)2, est inferieure µa 1, les deux modes d’intensite I1 et I2 coexistent malgre la competition pour le gain. En revanche, lorsque C > 1, l’un des modes monopolise tout le gain disponible au detriment de l’autre, dont l’intensite en regime stationnaire est alorsegale µa zero. Dans le casetudie ici, on vient de montrer que µ = 2¯, c’est-µa-dire C = 4. Les deux modes contrarotatifs sont donc trop fortement couples par le gain pour osciller simul- tanement dans la cavite. Il convient de noter ici le r^ole preponderant joue par le reseau d’inversion de population, c’est-µa-dire le terme en R N cos(2kz +©st)dz. En e®et, en l’ab- sence de ce terme dans lesequations (cas oµu les deux modes, pour une raison ou pour une autre, n’interfµerent pas), on aurait µ = ¯ donc C = 1, ce qui correspondrait au cas limite de stabilite de l’emission bidirectionnelle. En conclusion, on a montre que lorsque le reseau d’inversion de population suit adia- batiquement les variations du champ (ce qui n’est pas le cas du Nd-YAG, mais plut^ot des lasers µa gaz homogµenes ou des lasers µa semi-conducteurs), la constante de couplage estegale µa 4, alors qu’elle n’est plusegale qu’µa 1 en l’absence de ce reseau. Ce dernier a donc un e®et destabilisateur sur l’emission bidirectionnelle. On va voir dans ce qui suit que le fait de tenir compte de l’inertie de l’inversion de population ne change pas cette conclusion.