Extension de la méthode aux quantités d’intérêt ponctuelles en espace

Difficultés associées à l’étude de quantités d’intérêt ponctuelles Pour les quantités d’intérêt ponctuelles (resp. linéiques) en espace en 2D (resp. 3D), la solution du problème adjoint correspondant n’est généralement pas à énergie finie. Ceci est dû au fait que pour de telles quantités, le chargement du problème adjoint (force, précontrainte, . . .) est lui aussi ponctuel ou linéique ; la théorie du premier gradient aboutit alors à une solution u˜ n’appartenant pas aux espaces de régularité classiques [Duvaut et Lions 1976, Germain et Nayroles 1976]. Il est ainsi difficile d’approximer la solution exacte du problème adjoint et de la manipuler . . . La procédure généralement utilisée pour s’affranchir de ce problème consiste à régulariser la quantité d’intérêt de façon à borner l’énergie de (˜e, s˜). Pour cela, on peut par exemple remplacer la quantité d’intérêt ponctuelle au point x0 par une moyenne de cette quantité d’intérêt dans une région localisée autour de x0 . Dans [Prudhomme et Oden 1999] par exemple, la quantité d’intérêt ponctuelle est mise sous la forme : I(x0 ) ≈ Z Ω I(x)kε(x − x0 )dΩ où kε est une fonction de pondération (mollification function) définie par : kε(x) = ( C exp(− ε 2 ε 2−|x| 2 ) si |x| < ε 0 sinon La constante C est choisie pour normaliser la fonction kε ( R Ω kεdΩ = 1 par exemple) et la valeur de ε est prise de l’ordre de la taille des éléments du maillage au voisinage de x0 . De ce fait, le chargement du problème adjoint est maintenant réparti sur une petite zone Ωε ; l’erreur faite sur la quantité d’intérêt reste en outre en O(ε 2 ). Remarque : Dans le cas où la quantité d’intérêt ponctuelle concerne le déplacement sur un nœud i du maillage, une régularisation directe consiste à prendre la force ponctuelle constituant le chargement du problème adjoint comme une force nodale (Figure 6.1). 

Calcul des fonctions « handbook » 

Les fonctions de Green

Pour les quantités d’intérêt ponctuelles en espace, les fonctions d’enrichissement à apporter dans la méthode non-intrusive correspondent aux fonctions de Green [Greenberg 1948, Washizu 1953] à une effort ponctuel en son centre. En augmentant le nombre Ne d’éléments du maillage de façon à trouver une solution approchée de plus en plus fine à ce problème, on observe le champ de contrainte singulier décrit sur la Figure 6.2 et une non-convergence de l’énergie de déformation élastique Wel (Figure 6.3).Pour notre étude, les fonctions de Green sont déterminées de façon analytique. Elles sont calculées dans un milieu élastique infini ou semi-infini. Nous détaillons dans la suite de ce chapitre les méthodes de la littérature dédiées au calcul analytique des fonctions de Green. Celles-ci seront cherchées dans tous les cas sous la forme générale : K(M, t) = KS (M, t) + γ(M, t) où KS (M, t) est une fonction singulière, pouvant être à énergie infinie, et γ(M, t) est une solution regulière de l’EDO (EDP) homogène qui permet de vérifier les conditions limites du problème.