Extension du modèle semi-analytique de rayonnement

La validation d’un outil de conception du réseau matriciel conformable nous a amenés à utiliser un modèle éléments finis pour le calcul du rayonnement d’un élément émetteur au contact. Les résultats de ce modèle sont très proches de la mesure réalisée. La transposition de ce calcul à un réseau matriciel n’est pas réalisable, compte tenu des temps de calcul trop longs. On préfère utiliser un modèle semi-analytique comme Champ Sons, afin de pouvoir prendre en compte l’ensemble du réseau. On décrit dans ce chapitre une méthode de calcul du champ de déplacement, en s’aidant des résultats des calculs de la sollicitation à l’interface réalisés numériquement (voir paragraphe 4.2). Il nous faut ainsi étendre les possibilités du modèle de calcul déjà implémenté à Champ Sons décrit au paragraphe 2.1.2 au cas d’une source de force de direction quelconque, avec des composantes normales et tangentielles. On applique alors les répartitions simplifiées des contraintes calculées précédemment par PZFlex au calcul Champ Sons, ce qui permet d’améliorer la prédiction du rayonnement d’un élément du réseau matriciel au contact, en ce qui concerne les ondes T. 

Rayonnement d’une source ponctuelle de direction quelconque 

Rayonnement d’une source ponctuelle de direction quelconque

Lors de l’étude d’un élément émetteur d’un réseau conformable, on a simulé le rayonnement par Champ Sons qui considère que l’élément émetteur fonctionne en mode « piston » uniforme. Or les calculs éléments finis des contraintes générées à l’interface par un tel élément montrent la présence de contraintes tangentielles pouvant influencer le champ rayonné. On décrit donc dans ce qui suit un modèle de rayonnement d’une source ponctuelle de contrainte de direction arbitraire. Nous utilisons le repère cartésien (P, ~x, ~y, ~z) représenté figure 5.1. Une force F~ est appliquée au point source P et rayonne le champ de déplacement ~u au point de calcul M. Le repère mobile (P, ~x0 , ~y0 , ~z) définit le plan (P, ~x0 , ~z) contenant les points P et M et est lié au repère sphérique (P, r, θ, ϕ) dans lequel on utilise les coordonnées de la force F~ et du déplacement ~u dont les expressions sont définies figure 5.1. 

Application du théorème de réciprocité

Le champ rayonné par une source appliquée à la surface libre d’un milieu semiinfini est calculé d’après le théorème de réciprocité [33, 20]. Nous utilisons ici la même démarche que celle décrite au paragraphe 2.1.2, en généralisant au cas d’une force de direction quelconque. On considère la force F~ suivant ses décompositions F~ x0 et F~ z dans le repère (P, ~x0 , ~y0 , ~z) comme illustré figure 5.2, rayonnant en un point M un champ de déplacement ~u. On peut alors utiliser la situation inversée où une force ponctuelle G~ exercée en M génère un déplacement ~v à la surface de la pièce. On obtient ainsi l’égalité des produits scalaires ~ur(M) · F~ (P) = ~v(P) · G~ (M). (5.1) La force G~ exercée en M génère aussi un déplacement dans le solide qu’on peut décrire comme une onde L (resp. T ou TH) plane incidente, notée u L I (resp. u T I ou u T H I ) et qui se réfléchit sur la surface en deux ondes planes u L R et u T R (u T H R pour l’onde TH). θL (resp. θT ) est l’angle de réflexion de l’onde L pour une onde T incidente (resp. de l’onde T pour une onde L incidente). Rappelons que l’approximation en ondes planes nous impose de considérer notre point de calcul M comme étant assez loin de la surface libre. On utilise alors l’équation (5.1) pour exprimer v comme le déplacement provoqué par la somme des ondes à la surface, c’est-à-dire comme la projection des déplacements incidents et réfléchis sur la direction de la force F~ : 104 Extension du modèle semi-analytique de rayonnement θ ϕ ϕ M P ~x ~y ~z ~x0 ~y0 r ~u = (ur, uθ, uϕ) F~ = (F sin θF cos ϕF , F sin θF sin ϕF , F cos θF ) M P ~z ~x r ~y θF ϕF FIG. 5.1 – Repère sphérique pour une situation de force de direction arbitraire. ~x0 ~z θ θ ~uT R ~uL R ~uL I ~x0 ~z θ θ θT θL ~uT I ~uT R ~uL R P M M F~ z F~ x0 F~ x0 F~ z P ~z θ θ ~uTH R ~uTH I P M ~x0 F~ y0 FIG. 5.2 – Représentation de la réflexion d’une onde plane L, T et TH. Projection des déplacements sur une force normale suivant ~z, ou tangentielle suivant ~x0 et ~y0 .

Rayonnement d’une source ponctuelle de direction quelconque

– Pour la force F~ x0 appliquée suivant ~x0 : v L x0 = u L I sin θ + u L R sin θ − u T R cos θT , (5.2a) v T x0 = u T I cos θ − u T R cos θ + u L R sin θL, (5.2b) v T H x0 = 0. (5.2c) – Pour la force F~ y 0 appliquée suivant ~y0 : v L y 0 = 0, (5.3a) v T y 0 = 0, (5.3b) v T H y 0 = u T H I + u T H R . (5.3c) – Pour la force F~ z appliquée suivant la normale à la surface : v L z = −u L I cos θ + u L R cos θ + u T R sin θT , (5.4a) v T z = u T I sin θ + u T R sin θ + u L R cos θL, (5.4b) v T H z = 0. (5.4c)

Expression des déplacements

L’expression du champ de déplacement en régime transitoire est obtenue en supposant une excitation impulsionnelle, puisqu’on utilise les fonctions de Green décrites par l’équation (2.6) page 31. L’amplitude des déplacements est donnée comme une fonction des coefficients de réflexion à l’interface solide-vide. On définit ces coefficients par le rapport entre les déplacements produits par les ondes réfléchies et le déplacement des ondes incidentes comme dans l’expression (2.9) du paragraphe 2.1.2. Dans le cas présent on définit en plus, le coefficient correspondant à la réflexion de l’onde TH par RT HT H = u T H R u T H I . (5.5) Notons que les coefficients RT T et RT L deviennent complexes au-delà de l’angle critique θC = arcsin(cT /cL). De ce fait on considère deux cas pour l’expression des déplacements faisant intervenir ces coefficients. Angle sous-critique ( θ < θC ) On exprime alors les équations (5.2), (5.3) et (5.4) dans le repère (~x, ~y, ~z) pour obtenir le déplacement radial, transverse vertical et transverse horizontal (à savoir ur, uθ et uϕ) provoqué par l’application des contraintes [σ] à la surface de la pièce normale au vecteur ~z. 106 Extension du modèle semi-analytique de rayonnement Pour une contrainte tangentielle appliquée suivant ~x ur(M, t, [σzx]) = (RLL + 1) sin θ − RLT cos θT ρc2 L cos ϕ δ(t−r/cL) 4πr , (5.6a) uθ(M, t, [σzx]) = (1 − RT T ) cos θ + RT L sin θL ρc2 T cos ϕ δ(t−r/cT ) 4πr , (5.6b) uϕ(M, t, [σzx]) = 1 + RT HT H ρc2 T sin ϕ δ(t−r/cT ) 4πr . (5.6c) De la même manière si on applique une contrainte suivant ~y, on obtient une description tout à fait similaire, en reprenant les expressions (5.6) avec une rotation de π/2 autour de ~z ur(M, t, [σzy]) = (RLL + 1) sin θ − RLT cos θT ρc2 L sin ϕ δ(t−r/cL) 4πr , (5.7a) uθ(M, t, [σzy]) = (1 − RT T ) cos θ + RT L sin θL ρc2 T sin ϕ δ(t−r/cT ) 4πr , (5.7b) uϕ(M, t, [σzy]) = − µ 1 + RT HT H ρc2 T ¶ cos ϕ δ(t−r/cT ) 4πr . (5.7c) Dans le cas de l’application d’une contrainte normale on retrouve l’expression (2.10) page 34 : ur(M, t, [σzz]) = (RLL − 1) cos θ + RLT sin θT ρc2 L δ(t−r/cL) 4πr (5.8a) uθ(M, t, [σzz]) = (1 + RT T ) sin θ + RT L cos θL ρc2 T δ(t−r/cT ) 4πr (5.8b) uϕ(M, t, [σzz]) = 0 (5.8c) Angle sur-critique ( θ ≥ θC ) Lorsque θ ≥ θC, les coefficients de réflexion RT T et RT L deviennent en partie, voire totalement complexes. En effet, si θ atteint la valeur de l’angle critique, l’onde T se réfléchit en une onde L avec une angle θL = π/2, ce qui veut dire que l’onde L réfractée se propage parallèlement à la surface. Si on augmente encore l’angle θ, on obtient une valeur complexe pour la projection du déplacement associé à l’onde L sur la direction de la force appliquée. De ce fait cos θL devient imaginaire pur et sin θL bien que réel pur, atteint des valeurs supérieures à un : cos θL = (p 1 − γ 2 sin2 θ si θ < θC, −i p γ 2 sin2 θ − 1 si θ ≥ θC, (5.9a) sin θL = γ sin θ ∀ θ. (5.9b) où γ = cL/cT ≈ 1.85 dans le cas de l’acier inox. 107 5.1 Rayonnement d’une source ponctuelle de direction quelconque Les termes décrivant la conversion de mode, en fonction de RLT pour les ondes L et en fonction de RT L pour les ondes T dans les équations (5.6), (5.7) et (5.8), dépendent des angles de réflexion θT et θL. Pour le passage à l’angle sur-critique, on modifie l’expression de uθ en fonction de l’angle d’observation θ en utilisant les expressions (5.9) : uθ(M, t, [σzx]) = (h¡ 1 + <(RT T ) ¢ cos θ + <(RT L)γ sin θ i f(cT ) − h =(RT T ) cos θ + =(RT L)γ sin θ i H[f(cT )] ) cos ϕ, (5.10a) uθ(M, t, [σzy]) = (h¡ 1 + <(RT T ) ¢ cos θ + <(RT L)γ sin θ i f(cT ) − h =(RT T ) cos θ + =(RT L)γ sin θ i H[f(cT )] ) sin ϕ, (5.10b) uθ(M, t, [σzz]) = · ¡ 1 − <(RT T ) ¢ sin θ + =(RT L) q γ 2 sin2 θ − 1 ¸ f(cT ) − · =(RT T ) sin θ + <(RT L) q γ 2 sin2 θ − 1 ¸ H[f(cT )], (5.10c) avec f définie par f(cT ) = δ(t − r/cT ) ρ0c 2 T 4πr , (5.11) et sa transformée de Hilbert, par H[f(cT )] = 1 π Z −∞ +∞ f(τ ) τ − t dτ = 1 ρ0c 2 T 4π 2r 1 (t − r/cT ) . (5.12) Le logiciel de simulation ultrasonore CIVA calcule de manière standard les coefficients de réflexion solide-liquide. On peut utiliser ces coefficients en considérant une interface solide-air. Vu la différence d’impédance acoustique entre l’air et l’acier, ces coefficients sont très proches des coefficients solide-vide,0 représentatifs d’une surface libre.