Futurs travaux de modélisation

Extension du domaine de validité du modèle

Les chapitres précédents ont présenté un modèle élémentaire. Malgré sa simplicité nous avons montré qu’il possède des propriétés statiques et dynamiques qui en font un modèle dont le domaine de validité s’étend sur plusieurs jours et pour des excursions glycémiques allant de 70 mg/dl à 400 mg/dl. Nous allons ici présenter quelques pistes permettant d’étendre le domaine de validité, en conservant ses propriétés fondamentales, et tout en gardant une formulation simple. Pour cela la partie affine du modèle (θ1) est remplacée par un gain θ1 multipliant une entrée uendogène égale à 1 lorsque le système est à l’équilibre et que la glycémie est supérieure à 70 mg/dl (c’est la représentation proposée par (3.34)). Ainsi, à jeun et pour les glycémies supérieures à 70 mg/dl, le modèle étendu aura les propriétés du modèle initial. Gardant la structure de base de la Figure 3.1, la structure du sous-système glycémie sera alors celle de la Figure 5.1. Il faut garder à l’esprit que ce qui suit constitue des perspectives et qu’il sera notamment nécessaire d’obtenir des données cliniques pour rendre ces propositions plus pertinentes.

 Modélisation de la contre-régulation

Nous avons vu §3.7.5 que, contrairement à ce qui est observé cliniquement, le débit basal maintient la glycémie du modèle constante même pour ses faibles valeurs. Les hormones de contre-régulation (adrénaline, cortisol, glucagon) sécrétées lors du stress hypoglycémique (§1.2.2), ne font jusqu’alors pas partie du modèle. Pour ce faire, nous proposons de décrire f(x1) de la manière suivante : • pour les valeurs de glycémie (x1) supérieures à 70 mg/dl, f(x1) sera nulle, • pour les valeurs de glycémie inférieures à un seuil Gseuil, f(x1) sera positive. Ce seuil est réputé varier avec l’équilibre glycémique1 . On peut représenter alors l’allure de f(x1) par une courbe avec une hystérésis.Le cas où Gseuil < x1 < 70 étant déterminé par les évènements passés. Avec l’entrée endogène, il existe toujours un unique débit de base qui stabilise la glycémie lorsque celle-ci est supérieure à 70 mg/dl et qui est donné par l’Eq. (3.10). Lorsque la glycémie est inférieure à Gseuil, il existe une nouvelle valeur de débit constant stabilisant la glycémie. Cette valeur est donnée par : Ubseuil = (1 + k1) θ1 θ2 (5.2) Comme suggéré par la Figure 5.2, le paramètre k1 est positif. Aussi la valeur donnée par l’Eq. (5.2) indique que les hormones de contre-régulation ayant un effet hyperglycémiant, il serait nécessaire d’augmenter le débit de base pour maintenir le patient en hypoglycémie (ce qui n’est pas souhaitable). Les points d’équilibre avec cette entrée endogène sont donnés par la Figure 5.3.

Modélisation de la dynamique du foie

Nous avons vu au §.1.1.1 que lors d’une augmentation de la concentration d’insuline dans le plasma, le foie enclenche le mécanisme de glycogénèse. Pendant cette phase l’apport de glucose par le foie est réduit [24] et il est nul lorsque l’insulinémie atteint 100 mU/l (§1.1.2). Plusieurs études dont [44], [19] (c.f. §2.4), modélisent la dynamique des apports endogènes de glucose (EGP pour Endogenous Glucose Production). Ces modèles, développés pour la personne non-diabétique, utilisent une description mettant en jeu la glycémie. Comme nous l’avons vu au §1.1, lors d’une élévation de glycémie, le pancréas sécrète l’insuline qui déclenche la glycogénèse. Rappelons ici que le stimulus du foie est l’insuline. Pour une personne diabétique de type 1 il convient d’utiliser une description de la sécrétion endogène qui soit uniquement fonction de l’insulinémie comme dans [18]. Ici, nous allons compléter l’entrée endogène par une fonction qui dépend de x2 pour rendre compte de l’effet de l’insulinémie sur θ1 qui est la différence entre l’apport endogène de glucose et la consommation insulino-indépendante .