Les processus ponctuels spatiaux

La “Complete Spatial Randomness”

(CSR). — De très nombreux modèles de processus ponctuels ont été introduits. Le modèle de base, traduisant la notion d’homogénéité spatiale (traduction de “complete spatial randomness”) est le processus de Poisson homogène, appelé ainsi car le nombre d’événements contenus dans A ⊂ X est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λν(A). 

Les tests d’homogénéité spatiale

Pour tester l’hypothèse CSR, il existe de nombreuses techniques que nous pouvons découper en différentes familles. 0.2.1. Les statistiques basées sur les quadrats. — Historiquement les plus anciennes, ces statistiques résultent du découpage du domaine d’observation D en sous-régions disjointes appelées quadrats, A1, · · · , Aq. On note 14 N1, · · · , Nq les variables aléatoires représentant les nombres d’événements contenus dans les quadrats. Sous l’hypothèse d’homogénéité spatiale, ces variables aléatoires sont indépendantes et Ni ∼ P 

Les statistiques basées sur les distances

— Elles s’appuient sur les distances entre événements ou sur les distances entre points du domaine d’observation et événements. En voici quelques exemples. • Distance moyenne au plus proche voisin : Notons Zi , i = 1 · · ·N, les variables aléatoires représentant les distances de chaque événement a` son plus proche voisin (i.e. l’événement le plus proche en distance euclidienne), et Z¯ = 1 N PN i=1 Zi . On pose T = Z¯ − µZ¯ σZ¯ ou` µZ¯ = 0.5N −1/2 + 0.206N −1 + 0.164N −3/2 , et σZ¯ = 0.07N −2 + 0.148N −5/2 . Sous l’hypothèse d’homogénéité spatiale, T suit approximativement une loi normale standard (Donnelly, 1978). • Fonction de répartition empirique des distances au plus proche voisin : Notons Gˆ 1(z) la fonction de répartition empirique (FRE) de (z1, · · · , zn) et Gˆ i(z), i = 2, · · · , 100 la FRE des distances au plus proche voisin issue de la ième simulation d’un processus de Poisson homogène sur D. 

Les statistiques basées sur la fonction de répartition empirique des points

— On considère dans ce paragraphe des processus ponctuels dont le domaine d’observation est le carré unitaire [0, 1]2 . La statistique de Cramer-Von Mises est étendue a` la 2D par Zimmerman (1993) : son expression est ω¯ 2 = 1 4n Xn i=1 Xn j=1 (1−|ui−uj |)(1−|vi−vj |)− 1 2 Xn i=1 (u 2 i −ui−1/2)(v 2 i −vi−1/2)+ n 9 et sa loi limite est identifiée par Zimmerman (1994) par une méthode de décomposition en composantes principales. La statistique de Kolmogorov-Smirnov est également étendue a` la 2D par Justel & al. (1997). Les calculs s’avérant problématiques, ces mˆemes auteurs proposent une version simplifiée dont les performances restent semblables. Les distributions des deux statistiques sont estimées par une procédure de type Monte-Carlo.