Méthode des éléments finis avec joints en recouvrement non-conforme de maillages

Modélisation des phénomènes électromagnétiques 

Equations de Maxwell Régime dynamique 

La modélisation des phénomènes électromagnétiques, en milieux conducteurs ou non, est basée sur la résolution des équations de Maxwell. Ces dernières rendent, notamment, compte des liens entre phénomènes électriques et phénomènes magnétiques. L’expression de ces équations en domaine temporel s’écrit comme : rot H = J + ∂t D, (théorème d’Ampère-Maxwell) (1.1) rot E = − ∂t B, (loi de Faraday) (1.2) div B = 0, (loi de conservation du flux magnétique) (1.3) div D = ρ, (théorème de Gauss) (1.4) dans lesquelles H représente le champ magnétique (A/m), E le champ électrique (V/m), B l’induction magnétique (T), D l’induction électrique (C/m2 ), J la densité de courant (A/m2 ) et enfin ρ la densité volumique de charges (C/m3 ). 17 Régime magnétodynamique Pour des configurations où la taille du domaine géométrique est très petite devant la longueur d’onde du champ électrique et où les champs de déplacement sont négligés, l’équation (1.1) devient alors : rot H = J (1.5) Cette nouvelle formulation du théorème d’Ampère-Maxwell admet une équation supplémentaire, relative à la conservation de densité de courant J, exprimée par : div J = 0 (1.6) Désormais l’ensemble des équations (1.2)-(1.3)-(1.5)-(1.6) régit un problème dit magnétodynamique des équations de Maxwell (appelé aussi problème quasi-statique). Régime harmonique Dans le cas de problèmes où le courant d’excitation est sinusoïdal de pulsation ω ̸= 0, la dérivée en temps est équivalente, dans le domaine complexe, au produit par iω ce qui donne E(x, t) = |E(x)| exp(iωt) et H(x, t) = |H(x)| exp(iωt). L’équation (1.2) devient alors dans le domaine complexe : rot E = −iωB (1.7) De ce fait, l’ensemble des équations de Maxwell en régime harmonique est défini par les équations (1.3)-(1.5)-(1.6)-(1.7). Si ω = 0, le problème global est ramené à un problème magnétostatique dépendant uniquement de (1.5) et (1.3).

Lois de comportement 

Soit la décomposition du courant de conduction J suivante : J = J0 + Ji (1.8) avec J0 la densité de courant source dans un inducteur (une bobine par exemple) et Ji la densité de courant induite dans le milieu conducteur. Afin de tenir compte, des caractéristiques des matériaux rencontrés lors des modélisations magnétodynamiques. Il convient de définir des relations constitutives, dites lois de comportement définies, pour un matériau linéaire et isotrope, par : B = µH, (1.9) Ji = σE, (1.10) où µ est la perméabilité magnétique (Hm−1 ) et σ la conductivité électrique (Ω −1m−1 ). De manière plus précise on a : µ = µ0µr où µ0 désigne la perméabilité du vide, alors que µr est la perméabilité relative du milieu considéré. Dans le cas d’un matériau isolant, on a σ = 0. La résolution d’un problème en régime quasi-statique fait uniquement appel aux relations (1.9) et (1.10). 

Conditions de transmission 

Soient deux milieux distincts (Ωi)i=1,2 admettant deux systèmes propres d’équations de Maxwell régis par les champs (Hi , Bi , Ei , Di)i=1,2. On note Γ la surface continue qui sépare ces deux milieux. Il y a donc nécessité de savoir comment réagissent les champs lors du passage d’un milieu à un autre. Pour ce faire, les conditions de transmission des champs à l’interface Γ sont données par les équations suivantes : n × (H1 − H2) = Js, (1.11) n · (B1 − B2) = 0, (1.12) n × (E1 − E2) = 0, (1.13) n · (J1 − J2) = 0 (1.14) où Js est la densité surfacique de courant. Ces relations traduisent la continuité des composantes tangentielles de E et normales de B et J à l’interface Γ. La composante tangentielle de H n’est continue que si la surface de séparation ne possède pas de densité surfacique de courant.

Conditions aux limites 

On se place dans le cadre d’une modélisation des équations de Maxwell avec un domaine d’étude Ω considéré borné. Afin d’avoir l’unicité de la solution, des conditions aux limites de type Dirichlet homogènes peuvent être imposées sur les champs électrique et magnétique. Pour ce faire, la frontière Γ = ∂Ω est divisée en deux parties distinctes (Γ = ΓE ∪ΓH et ΓE ∩ΓH = ∅) : ΓE où est imposée la condition sur le champ électrique et ΓH où est imposée celle sur le champ magnétique. Le choix de ces deux frontières varient avec la configuration du problème. Elles s’expriment comme : n × E = 0 sur ΓE (1.15) n × H = 0 sur ΓH (1.16)

Formulations 

Il est nécessaire de réécrire les équations de Maxwell afin de pouvoir appliquer une méthode de résolution. Dans le cadre de ces travaux, l’objectif est de se rapporter à des équations différentielles telles que des formulations faibles puissent en être déduites. Parmi ces formulations, on en retient deux types : la première, qui est aussi la plus intuitive, tend à déterminer des formulations dites “en champ”, la seconde, quant à elle, consiste en l’introduction d’outils mathématiques appelés potentiels. Les formulations en champ se proposent d’exprimer les équations de Maxwell en fonction soit du champ magnétique H soit du champ électrique E. Ce choix de formulation peut, néanmoins, entraîner des difficultés lors de la prise en compte de discontinuités entre diverses régions. De plus, lors de la résolution numérique du problème en champs, la convergence peut s’avérer être délicate. Les formulations en potentiels reposent sur l’introduction de potentiels scalaires et/ou vectoriels qui réduisent les problématiques à la fois d’ordre théorique et numérique. Cette section présente les formulations en champs et potentiels les plus couramment rencontrées dans le domaine de la modélisation électromagnétique et utilisées durant ce travail de thèse. Désormais, on se place sous l’hypothèse d’un régime quasi-statique. Formulation en champ magnétique Les équations de la magnétoynamique (1.2)-(1.6) peuvent s’écrire sous forme d’une formulation unique. Un choix possible est d’envisager le champ magnétique H comme inconnue principale du problème. A partir des lois de comportement (1.9) et (1.10) ainsi que de (1.2) on trouve l’équation : ∂t (µH) + rot ( σ −1 rot H ) = 0 (1.17) Cette formulation accompagnée de conditions aux limites admet une unique solution. Dans les milieux non conducteur (σ = 0), le problème peut se ramener à la résolution des équations (1.3) et (1.5). Formulation en champ électrique Une seconde formulation en champ envisageable est celle dépendant uniquement du champ électrique E. Celle-ci est obtenue, dans un milieu conducteur, à partir des lois de comportement (1.9) et (1.10) ainsi que des équations (1.2)-(1.5), donnant : ∂t (σE) + rot ( µ −1 rot E ) = 0 (1.18) Cette formulation combinée à des conditions aux limites admet une unique solution. Néanmoins dans le cas où σ = 0, l’équation ne détermine le champ électrique qu’à un gradient près ce qui n’assure pas l’unicité de la solution. Par conséquent, on a recours à l’utilisation d’une jauge assurant l’unicité de la solution. Introduction des potentiels Il existe des outils mathématiques appelés potentiels permettant de calculer les champs électromagnétiques mis en jeu [25, 23]. Ils ont pour objectif principal une meilleure prise en compte des discontinuités lors de la résolution numérique des équations. En effet, le problème est, de ce fait, réécrit avec des variables de continuité accrue dont sont dérivés les champs. L’introdution de potentiels scalaire et vectoriel repose sur le Lemme de Poincaré que l’on se propose de rappeler : Lemme de Poincaré. Soient les champs vecteurs réguliers E et B sur un domaine Ω contractile 1 . Si les hypothèses suivantes sont vérifiées : rot E = 0 div B = 0 (1.19) 1. Un domaine Ω ⊂ R 3 est dit contractile lorsque il est simplement connexe à frontière connexe. L’adjectif connexe signifie fait d’un seul morceau et simplement connexe que tout circuit est réductible à un point par déformation continue dans Ω [29]. 20 1.1 Modélisation des phénomènes électromagnétiques alors un potentiel scalaire ϕ et un potentiel vecteur A peuvent être introduits tels que : E = grad ϕ B = rot A (1.20) Formulation en potentiels combinés T − ϕ Par les équations (1.6) et (1.8) on introduit, dans le milieu conducteur, le potentiel vecteur électrique T ∈ R 3 et dans l’inducteur T0 ∈ R 3 tels que : Ji = rot T et J0 = rot T0 (1.21) En introduisant ces expressions dans (1.5), on trouve que rot(H − T − T0) = 0. Le potentiel scalaire magnétique ϕ ∈ R est, alors, donné tel que : H = T + T0 − grad ϕ (1.22) On obtient le système d’équations en potentiels combinés T − ϕ exprimé comme : rot ( σ −1 rot T ) + µ ∂t (T − grad ϕ) = 0 dans ΩC, (1.23) div (µ (T + T0 − grad ϕ)) = 0 dans Ω (1.24) où Ω désigne le domaine global d’étude et ΩC le milieu conducteur. La continuité de la composante tangentielle de H est maintenue dans le cas où ϕ et la composante tangentielle de T et T0 sont continus. Par ailleurs, la continuité de la composante normale de B (1.12) est vérifée par (1.24). De plus, (1.23) vérifie la continuité de la composante tangentielle de E. Des conditions aux limites bien choisies ainsi qu’une condition de jauge sur T permettent d’assurer l’unicité de la solution. Formulation en potentiel scalaire magnétique ϕ On se place désormais dans un domaine non conducteur (supposé libre de tout courant induit Ji = 0). Une densité de courant source est néanmoins considérée telle que J est réduit à J0. De l’équation (1.6), un potentiel vecteur électrique T0 ∈ R 3 , propre à la source, est défini comme : J0 = rot T0 (1.25) En injectant (1.25) dans (1.5), on a la relation rot(H − T0) = 0 qui permet d’introduire le potentiel scalaire magnétique ϕ ∈ R tel que : H = T0 − grad Φ (1.26) La fomulation en potentiel scalaire magnétique est obtenue à partir de (1.3),(1.9) et (1.26) et s’exprime comme : div(µgrad ϕ) = div (µT0) (1.27) Notons que la continuité de la composante tangentielle du champ magnétique H est assurée sous la condition que le potentiel scalaire ϕ et la composante tangentielle de T0 soient continus. La condition de continuité de la composante normale de B est vérifiée dans (1.27). En imposant les conditions aux bords relatives à la composante normale de B, le problème ci-dessus admet une unique solution. Formulation en potentiels combinés A − ψ En se placant dans un domaine contractile, une formulation en potentiel vecteur magnétique A et potentiel scalaire électrique v est considérée ci-après. Par l’équation (1.3), on choisit d’introduire le potentiel vecteur magnétique A ∈ R 3 comme : B = rot A et E = − ∂t (A − grad v) (1.28) En remplacant B dans (1.2), on obtient rot (E + ∂t A) = 0 et ainsi on en déduit, dans le milieu conducteur, une primitive ψ ∈ R du potentiel scalaire électrique telle que : E = − ∂t A − grad ψ (1.29) Finalement, on obtient le système d’équations en formulation en potentiels combinés A−ψ qui s’écrit : rot ( µ −1 rot A ) − σ (∂t A + grad ψ) = J0 dans Ω, (1.30) div (σ (∂t A + grad ψ)) = 0 dans ΩC. (1.31) La continuité associée à la normale du champ B (1.12) est maintenue sous réserve que la composante tangentielle de A soit continue. Par ailleurs, la continuité de la composante tangentielle de H et de la composante normale de J sont vérifiées par (1.30) et (1.31). Le potentiel vecteur A est défini à un gradient près et ψ à une constante près par le Lemme de Poincaré. Des conditions aux limites bien choisies ne suffisent donc pas à assurer l’unicité de la solution. Dans ce cas, choix peut être fait d’imposer une condition de jauge sur A [21, 82]. Formulation en potentiel vecteur magnétique modifié A∗ Par la relation (1.3), on définit un potentiel vecteur magnétique dit modifié [81, 67], noté A ∗ , qui donne : B = rot A ∗ et E = − ∂t A ∗ (1.32) La loi de Faraday (1.2) est implicitement vérifiée dans cette relation. Le potentiel A ∗ peut-être considéré comme une primitive temporelle du champ électrique E. En portant les lois de comportement (1.9) et (1.10) et la relation (1.32) dans l’expression (1.5), on obtient la formulation A ∗ qui s’écrit : ∂t (σA ∗ ) + rot ( µ −1 rot A ∗ ) = J0 (1.33) Par ailleurs, en prenant la divergence de (1.33) il vient ∂t div σA ∗ = 0, ce qui constitue une condition de jauge implicite pour la formulation considérée : div σA ∗ = 0 (1.34) Néanmoins, cette condition de jauge est valable uniquement pour des régions conductrices sous la condition que A ∗ = 0 en t = 0. Dans les régions isolantes, si une jauge est utilisée, elle doit être définie explicitement. La condition (1.34) donne la continuité de σA ∗ .n, ce qui entraîne que la composante normale de A ∗ est discontinue à l’interface entre de deux matériaux de conductivités différentes. Enfin, la continuité de la composante normale de B est vérifiée par (1.32). 

Espaces fonctionnels et opérateurs différentiels

 La théorie des équations de Maxwell est construite autour des espaces de Sobolev scalaires et vectoriels. Cette partie propose de rappeler les différents espaces mis en jeu ainsi que les opérateurs différentiels intervenant dans le cadre de notre étude. Des propriétés entre ces différents espaces seront également mises en évidence. Espaces fonctionnels Soient les fonctions u, v : Ω → R et u, v : Ω → R p où Ω est un espace connexe à frontière connexe et régulière telle que Ω ⊂ R p et p ∈ {2, 3}. L’espace des fonctions de R mesurables, de carré intégrable sur Ω, noté L 2 (Ω), est défini par le produit scalaire : (u, v) 0,Ω = ∫ Ω uv dΩ u, v ∈ L 2 (Ω). (1.35) La norme de cet espace est définie comme ||u||0,Ω = (u, u) 1/2 0,Ω . L’analogue à l’espace L 2 dans le cadre des fonctions vectorielles est noté L 2 (Ω) et est déterminé par le produit scalaire suivant : (u, v) 0,Ω = ∫ Ω u · v dΩ u, v ∈ L 2 (Ω), (1.36) où la norme associée est ||u||0,Ω = (u,u) 1/2 0,Ω . Comme indiqué dans les relations (1.1)-(1.4), les opérateurs différentiels intervenant dans l’étude des équations de Maxwell sont le rotationnel, la divergence ainsi que l’opérateur gradient. Les espaces de définition qui décrivent ces opérateurs sont donnés par la suite : H (rot, Ω) = {u ∈ L 2 (Ω), rot u ∈ L 2 (Ω)} (1.37) définit par le produit scalaire (u, v) rot,Ω = (u, v) 0,Ω+(rot u, rot v) 0,Ω et la norme associée ||u||rot,Ω = (u,u) 1/2 rot,Ω H (div, Ω) = {u ∈ L 2 (Ω), div u ∈ L 2 (Ω)} (1.38) avec le produit scalaire (u, v)div,Ω = (u, v) 0,Ω + (div u, div v) 0,Ω et la norme ||u||div,Ω = (u,u) 1/2 div,Ω . H (grad, Ω) = {u ∈ L 2 (Ω), grad u ∈ L 2 (Ω)} = H 1 (Ω) (1.39) avec le produit scalaire (u, v) 1,Ω = (u, v) 0,Ω + (grad u, grad v) 0,Ω et la norme ||u||1,Ω = (u, u) 1/2 1,Ω . On considère également l’espace H2 (Ω) tel que : H 2 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω), D2u ∈ L 2 (Ω)} (1.40) où D2u est la dérivée spatiale d’ordre 2 de u. Cet espace est décrit par le produit scalaire (u, v) 2,Ω = (u, v) 1,Ω + (D2u, D2 v) 0,Ω et la norme ||u||2,Ω = (u, u) 1/2 2,Ω . Pour rappel, le théorème de Green usuellement rencontré est défini dans l’espace H1 (Ω) tel que : ∫ Ω ∆u v = − ∫ Ω grad u · grad v + ∫ ∂Ω ∂nu v, (1.41) où ∂nu représente la dérivée normale de u. Il est généralisable aux espaces H (rot, Ω) et H (div, Ω) tel que : ∫ Ω u · rot v = ∫ Ω rot u · v + ∫ ∂Ω (u × n) · v, (1.42) ∫ Ω u · grad v = − ∫ Ω div u · v + ∫ ∂Ω (u · n)v, (1.43) où (u × n) et (u · n) sont, respectivement,les composantes tangentielle et normale de u sur ∂Ω. Dans la théorie des formulations variationnelles, le théorème de Green est un outil couramment utilisé permettant de définir la formulation faible d’un problème. Supposons que le domaine Ω soit contractile (supposé sans trous et sans boucle). Les espaces topologiques précédents définissent les égalités suivantes : Im ( grad ( H 1 (Ω))) = Ker(rot (H (rot, Ω))), (1.44) Im (rot (H (rot, Ω))) = Ker(div (H (div, Ω))), (1.45) où Ker(F (−)) et Im (F (−)) désignent, respectivement, le noyau et l’image de l’opérateur F. Dans le cas où Ω n’est pas contractile, les égalités deviennent des inclusions : Im ( grad ( H 1 (Ω))) ⊂ Ker(rot (H (rot, Ω))), (1.46) Im (rot (H (rot, Ω))) ⊂ Ker(div (H (div, Ω))). (1.47) 

Diagramme de Tonti 

On pose les espaces suivants : E 0 D (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω) : uΓD = 0}, E 1 D (Ω) = {u ∈ H (rot, Ω) : u × n|ΓD = 0}, E 2 D (Ω) = {u ∈ H (div, Ω) : u · n|ΓD = 0}, E 3 D (Ω) = div E 2 D, où D ∈ {E, H}. La Figure 1.1 illustre un diagramme, appelé diagramme de Tonti [103], à quatre niveaux et deux colonnes représentatif de la structure mathématique formée par les espaces E 0 D (Ω), E 1 D (Ω), E 2 D (Ω) et E 3 D (Ω). A chaque niveau est associé un espace et à chacune des colonnes un système d’équations. Le passage d’un espace à un autre sur chaque colonne est réalisé via un opérateur différentiel spatial de premier ordre (gradient,rotationnel ou divergence). Les espaces d’un même niveau sont, quant à eux, reliés par la tranformation de Hodge (∗). Il est possible d’appliquer ce raisonnement pour une généralisation des problèmes de l’électromagnétisme et plus particulièrement des courants induits. Pour ce faire, la dérivation temporelle est désormais prise en compte ce qui fait apparaître une troisième dimension dans le diagramme, voir Figure 1.2.

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