Modélisation analytique selon Johnson-ChampouxAllard de la propagation des ondes acoustiques dans un milieu poreux multicouches 

La transmission, la réflexion et l’absorption sonore des parois minces sont des domaines qui ont été de nombreuses fois traités auparavant. Les premières études sont sorties dans les années 1930. H. Reissner a donné une solution exacte de la transmission sonore d’une structure uni couche plane et l’a appliquée aux plaques minces et épaisses. L’approche a ensuite été approfondie pour la transmission des plaques simples et étendue à des systèmes à double paroi et autres systèmes plus complexes Nous pouvons trouver dans la littérature une quantité impressionnante d’études sur la transparence acoustique de parois légères [16].

Présentation du problème

Considérons un matériau poreux soumis à une onde acoustique, et vérifiant les hypothèses suivantes : – le matériau poreux est homogène et isotrope, saturé par un fluide interstitiel ; – nous faisons l’hypothèse d’un « squelette rigide » qui n’est pas mis en vibration par les ondes acoustiques ; – les pores constituent un réseau interconnecté et ouvert sur l’extérieur, de plus, ils peuvent être décrits par une même dimension caractéristique ; – la dimension caractéristique des pores est supposée faible par rapport à la dimension caractéristique de l’onde ; – nous nous plaçons dans le cadre de l’acoustique linéaire, si bien que l’on ne considère que les petites variations des grandeurs acoustiques autour de leur valeur à l’équilibre. Nous choisissons ici une situation classique qui est illustrée par la figure 4. Nous considérons donc une structure constituée de trois milieux consécutifs : un milieu gazeux (1), un milieu poreux rigide (2) et un milieu quelconque (3). Le problème est ici supposé unidimensionnel, c’est-à-dire que nous ne considérons que des ondes incidentes planes perpendiculaires aux interfaces entre les différents milieux. Nous supposons que les effets de surface sont négligeables, ce qui permet d’écrire des conditions aux limites par continuité. Figure 4 – Un milieu poreux soumis à une onde acoustique plane se propageant en incidence normale dans la direction x e  , et adosse à une terminaison rigide [3]. Une onde acoustique incidente sinusoïdale arrive par le milieu gazeux ; elle va être partiellement réfléchie par le milieu (2), et partiellement transmise dans ce même milieu, arrivée à l’interface du milieu (3), elle va être complètement réfléchie, puis partiellement réfléchie par le milieu (1), et ainsi de suite. L’onde acoustique peut être décrite par la pression en tout point, et les conditions aux limites font aussi intervenir le champ de vitesse ; dans les calculs qui suivent la pression à l’équilibre se simplifie, nous considèrerons uniquement la surpression. Dans le milieu (1), nous décomposons la pression acoustique et la vitesse moyenne en onde incidente (i) et réfléchie (r), soit avec des notations complexes :  où k est le nombre d’onde du milieu gazeux, i p pression acoustique incident, r p pression acoustique réfléchi, i v vitesse acoustique incident et r v vitesse acoustique réfléchi. De même, dans le milieu (2), nous pouvons décomposer la pression acoustique et la vitesse en une onde progressive (+) et une onde dégressive (-) :   où k′ est le nombre d’onde du milieu poreux. Les vitesses peuvent être reliées à la pression par les équations de la dynamique respective. Dans l’air libre nous avons : Quant à l’air dans le milieu poreux, nous l’exprimons par :  Z∞ et Z sont les impédances du milieu (1) et de la partie fluide du milieu (2) respectivement. En tenant compte de la porositéφ du milieu (2), nous pouvons définir l’impédance globale Zeff du milieu (2) par : eff Z Z φ = (2.5) Cette définition est intéressante car elle décrit l’ensemble du milieu (2) comme un fluide équivalent d’impédance effective Zeff . Entre (1) et (2), nous supposons la continuité de la pression et du débit de gaz, d’où les conditions aux limites en x = 0 Nous pouvons faire intervenir la porosité pour traduire que le débit est donné par la vitesse moyenne multipliée par la section de l’écoulement, qui dans le milieu poreux est inférieure à celle du milieu (1) proportionnellement à la porosité. Entre (2) et (3), le milieu (3) étant rigide, nous pouvons écrire la nullité de la vitesse en x l = : 0 ik l ik l v e v e − − ′ ′ + − + = (2.7) l est l’épaisseur du milieu (2).   Nous obtenons donc trois équations reliant les paramètres des diffèrent milieux, plus les quatre équations de la dynamique, soit sept équations pour huit inconnues. Nous pouvons alors exprimer toutes les quantités en fonction d’une seule, à savoir la pression incidente, ce qui est physiquement satisfaisant. Ce faisant, nous pouvons calculer la part d’énergie réfléchie et d’énergie absorbée par le milieu (2) de manière absolue. 

 Modélisation des matériaux multicouches

Nous avons vu dans le chapitre I que les propriétés acoustiques des matériaux poreux homogènes peuvent être prédites à partir des paramètres descriptifs de la géométrie des pores ou du squelette, et descriptifs des propriétés structurelles du squelette grâce à des modèles semi-phénoménologiques ou empiriques. Les propriétés acoustiques des matériaux à structure multicouche peuvent elles aussi être prédites, mais leur calcul s’avère automatiquement plus compliqué dans la mesure où les propriétés de toutes les couches doivent être prises en compte ainsi que le couplage entre les couches successives. Une méthode a été développée afin de décrire ce type de matériaux à l’aide d’une matrice de transfert résultant des propriétés de l’ensemble des couches. II.3 Principe Nous nous appuyons dans cette thèse sur la méthode de la matrice de transfert décrite dans l’ouvrage de la référence [16]. Nous considérons une structure composée de n couches supposées homogènes, isotropes, et de dimensions latérales infinies. La structure multicouche est représentée à la figure 5. Figure 5 – Représentation de la structure multicouche considérée [1].  Nous nous intéressons uniquement dans cette thèse à des couches de matériaux poreux, caractérisées par un comportement fluide-équivalent ou poroélastique. Ainsi la matrice de résolution est donnée par : Les Ai sont les amplitudes de pression dans la couche i les variables β pli correspondent aux plaques i : ( ) 0 , cos pl pli Z c θ ω θ β ρ = (2.16) si la plaque i est un milieu poreux, alors Z cZ pl mp = ρ0 (2.17) si la plaque i est une plaque simple flexible : 

Prise en compte des vibrations du milieu poreux

Jusqu’à présent, le milieu poreux était supposée totalement rigide, et le modèle ne prenait pas en compte les vibrations de la structure. Les mouvements du milieu poreux peuvent diminuer les phénomènes de viscosité, et modifier l’affaiblissement. Cela provoque des puits d’absorption.L’effet de viscosité dépend de la vitesse relative définie par V V V relat part vib = − si les vibrations de la plaque sont négligeables devant les déplacements particulaires, alors V V relat part ≈ et le modèle proposé reste valide. Mais si elles sont du même ordre de grandeur, alors toutes les données sont modifiées ; les phénomènes de vibrations doivent être pris en compte et les impédances du milieu poreux modifiées. Pour tenter d’intégrer ces phénomènes vibratoires dans le modèle en conservant l’approche théorique des milieux poreux, nous proposons d’utiliser une impédance effective (équivalent) pour les milieu poreux : Zeff.