Modélisation du transport (quasi-)balistique pour la simulation numérique d’éléments de
circuit

Modélisation numérique du transport électronique 

L’étude des transistors nanométriques (de longueur de canal inférieure à quelques dizaines de nanomètres) a démontré les limites des formalismes semi-classiques fondés sur la méthode des moments de l’équation de transport de Boltzmann (présentés au chapitre II) qui suppose un transport où les interactions sont dominantes. Cependant, dans un transistor de longueur de canal de quelques nanomètres le nombre d’interactions diminue fortement. Quel formalisme faut-il alors choisir pour décrire le transport lorsque les porteurs ne subissent que « quelques interactions » ?

Dans le chapitre II nous avons présenté en détail les modèles basés sur la méthode des moments de l’Equation de Transport de Boltzmann. Ces approches ne prennent pas en compte le caractère ondulatoire des électrons (transport quantique), la dégénérescence des porteurs (la fonction de distribution étant une Maxwellienne déplacée) ou la description précise du terme d’interaction. Ces problèmes sont en partie résolus en utilisant des approches plus physiques comme le formalisme des fonctions de Green ou encore les approches particulaire (type Monte Carlo). Malheureusement, il est techniquement très difficile d’utiliser ces formalismes pour simuler de petits éléments de circuits, à cause notamment du temps de calcul très important. Ainsi, nous proposerons dans le paragraphe suivant une solution plus abordable en termes de temps de calcul qui sera utilisable pour la simulation d’éléments de circuit.

Approche transport quantique

Parmi les approches quantiques utilisées pour simuler des dispositifs de taille nanométrique, nous citerons le formalisme des fonctions de Green hors équilibre et l’équation de transport de Wigner. Le formalisme des fonctions de Green hors équilibre [Delerue] [Datta] [Munteanu2] [Bescond] (NEGF= « Non-Equilibrium Geen’s Function ») est l’outil le plus utilisé pour adresser la problématique de la simulation du transport quantique. Cette approche considérant l’électron comme une onde, il est possible « d’adresser » des problématiques tels que le transport tunnel à travers la barrière source drain ou les réflexions quantiques, que les modèles classiques sont incapables de traiter. Nous ne détaillerons pas les équations et les hypothèses, mais nous allons présenter quelques résultats [Autran4] [Munteanu2] qui illustrent les possibilités de cette approche.

Les résultats présentés ici sont des simulations issues d’un code de transport quantique développé à l’IM2NP-CNRS [Autran4] [Munteanu2]. Dans ces simulations aucune interaction n’est prise en compte. Néanmoins, le formalisme des fonctions de Green permet de prendre en compte des interactions comme les impuretés [Martinez] ou la rugosité de surface Chapitre III : Modélisation du transport (quasi-)balistique pour la simulation numérique d’éléments de circuit. 74 [Poli]. Malheureusement, la description précise des phénomènes physiques considérés se fait au détriment du temps de simulations qui devient considérable* . Les résultats de la figure II.1 illustrent l’impact du transport quantique sur des dispositifs Double-Grilles à grilles indépendantes pour une longueur de grille de 10 nm et en considérant un régime purement balistique.

Le traitement 2-D du transport quantique dans de tels dispositifs a permis de mettre en évidence les différences entre les régimes de fonctionnement en termes de distribution de charge, de transparence de la barrière et de courant. Dans ce travail [Autran4] [Munteanu2] deux approches distinctes sont considérées : transport quantique 1-D décrit par le formalisme des fonctions de Green 1-D (approche « Mode Space ») et transport quantique 2-D décrit par le formalisme des fonctions de Green 2-D (approche « Real Space »). Ainsi Autran et al [Autran4] [Munteranu2] démontre que pour des dispositifs ultra-minces (1.5 nm), le traitement « Mode Space » conduit à des résultats sensiblement identiques à ceux obtenus par l’approche « Real Space ».

Approche particulaire

L’approche particulaire dite « de Monte Carlo » est une méthode qui permet de résoudre exactement l’équation de transport de Boltzmann* . C’est une méthode statistique qui consiste à déterminer le mouvement de chaque particule dans les l’espace des phases et l’espace réel. Cette simulation appliquée à un grand nombre de particules permet d’obtenir un mouvement d’ensemble des particules, de reconstruire facilement la fonction de distribution et d’en extraire les caractéristiques macroscopiques telles que la vitesse et la densité. Elle permet par exemple d’étudier des phénomènes fortement non-stationnaires comme le transport balistique.

De façon pratique, le mouvement de chaque porteur (électron ou trou) est décrit comme une succession de vols libres entrecoupés d’interactions qui sont considérées comme instantanées. Le temps de vol libre, l’interaction subie et l’état de la particule après interaction sont déterminés par des « tirages au sort » [Saint-Martin] [Dollfus] [Barraud]. Cette modélisation prend en compte les interactions avec les phonons, les impuretés ionisées ou encore la rugosité de surface [Saint-Martin] [Dollfus] par des approches perturbatrices limitées au premier ordre. Le champ électrostatique est réactualisé à chaque pas de temps par la résolution de l’équation de Poisson.