NOTIONS DE BASE DE L’ANALYSE COMPLEXE

Fonctions analytiques Définition 1.1. On dit que f est une fonction analytique au point z0 ∈ C si et seulement si f est différentiable sur un voisinage de z0. Remarque 1.1. On dit qu’une fonction f est entière, si elle est analytique sur C. Notation 1.1. On note A(D) l’ensemble des fonctions analytiques sur un ensemble D. Définition 1.2. Soit f une fonction analytique au point z0. On dit que z0 est un zéro régulier de f si f(z0) = 0. 

Fonctions méromorphes 

Série de Laurent Théorème 1.4. [1] Si f est analytique sur la couronne D = {z ∈ C : 0 ≤ r < |z − z0| < R}, alors f peut s’écrire sous la forme d’une série de Laurent en tout point z de cette couronne i.e. si z ∈ D alors on a f(z) = + X∞ −∞ Ck(z − z0) k = X−1 −∞ Ck(z − z0) k + + X∞ 0 Ck(z − z0) k où Ck = 1 2πi R Γ f(ξ) (ξ−z0) k+1 dξ, où Γ est un conteur fermé contenu dans D et contient z0 dans son intérieur. Remarque 1.2. 1. −P 1 −∞ Ck(z − z0) k est dite la partie principale de la série de Laurent. 2. + P∞ 0 Ck(z − z0) k est dite la partie régulière de la série de Laurent.

Points singuliers d’une fonction

Définition 1.3. Si f n’est pas analytique en z0 ∈ C, alors z0 est un point singulier de f. Définition 1.4. Le point singulier z0 ∈ C est isolé s’il existe r > 0 tel que B(z0, r) ne contient pas d’autres points singuliers. 

Classification des points singuliers (selon le développement de Laurent) 

Définition 1.5. Soit f une fonction analytique sur D = {z ∈ C : 0 ≤ r < |z − z0| < R} où z0 est un point singulier de f. Si Ck = 0, ∀ − ∞ < k < −1, alors on dit que z0 est un point singulier eliminable. Définition 1.6. On dit que le point singulier isolé z0 de f est essentiel si la partie principale de la série de Laurent de f au voisinage de z0 contient un nombre infini de termes Définition 1.7. On dit que le point singulier isolé z0 de f est un pôle de f si la partie principale de la sérié de Laurent contient un nombre fini de termes. (i.e.f(z) = + X∞ k=−n0 Ck(z − z0) k où c−n0 6= 0). On dit dans ce cas que z0 est un pôle de f(z) d’ordre n0. Théorème 1.5. [6] Soit z0 un point singulier isolé de f, on a l’équivalence entre i) z0 est un pôle d’ordre n de f(z). ii) z0 est un zéro d’ordre n de ϕ(z) = 1 f(z) . Remarque 1.3. Si le point singulier isolé z0 est un pôle d’ordre 1, alors on dit que z0 est un pôle simple. Exemple 1.1. La fonction g(z) = 1 1+z 2 est analytique dans C\{i, −i}. On remarque que i et −i sont des zéros de la fonction h(z) = 1 g(z) , donc i et −i sont des pôles de g. Remarque 1.4. Les fonctions analytiques qui ont uniquement des pôles comme points singuliers sont appelées fonctions méromorphes sur D et on a f méromorphe surD ⇔ f = g h , où g, h ∈ A(D). 

Théorème de Rouché

 Théorème 1.9. [13] Soient f, g deux fonctions analytiques sur un domaine borné D Si |f(z)| > |g(z)|, ∀z ∈ Γ, où Γ est la frontière de D. Alors f et F(z) = f(z) + g(z) possèdent le même nombre de zéros dans D. Preuve. Comme |f(z)| > |g(z)| ≥ 0, ∀z ∈ Γ, alors f(z) 6= 0, ∀z ∈ Γ. De même F(z) 6= 0, ∀z ∈ Γ, car |F(z)| = |f(z) + g(z)| ≥ |f(z)| − |g(z)| > 0, ∀z ∈ Γ. Les conditions du principe de l’argument sont vérifiées pour F, alors 1 2π ∆Γarg(F(z)) = NF ,