Ondes internes de gravité en fluide stratifié: instabilités,turbulence et vorticité potentielle
Quelques aspects fondamentaux des uides stratégies
Les simulations numériques d’ondes internes de gravité en deux dimensions chapitre 4 et trois dimensions d’espace chapitre 5, ainsi que le travail présenté au chapitre 6, reposent entièrement sur le modèle de la dynamique d’un uide stratégie dans l’approximation de Boussinesq. Ce chapitre présente quelques aspects fondamentaux des idées de stratégie importantes pour notre étude. La plupart des notions de mécanique des huiles utilisées dans la suite de ce manuscrit y sont présentées. Ce chapitre ne contient pas uniquement des notions classiques, mais nous introduisons également quelques résultats plus récents. Toutefois, les développements théoriques résultant de notre étude ne sont développés qu’au chapitre 6, an de maintenir le caractère introductif et général de ce chapitre. Nous décrivons d’abord le modèle de guide parfaitement compressible, puis le modèle de guide de Navier-Stokes dans l’approximation de Boussinesq. A ce stade nous introduisons quelques quantités physiques importantes, ainsi que leurs équations d’évolution. Nous considérons la vorticité d’un point de vue matériel et nous dérivons le théorème de Ertel. Nous considérons également la conservation globale de la vorticité potentielle. La section suivante présente le dimensionnement des équations de Navier-Stokes dans l’approximation de Boussinesq de Riley et al 1981 [113] et met en évidence les composantes du mouvement présentes dans un écoulement stratifié de petit nombre de Froude. Enn nous présentons quelques propriétés des ondes internes de gravité linéaires propagatrices, solutions des équations de Navier-Stokes linéarisées.
Des équations du uide compressible aux équations de Navier
Stokes dans l’approximation de Boussinesq
La notion de modèle en mécanique des uides est intuitive. Un modèle de guide est un ensemble d’équations qui décrivent la dynamique et la thermodynamique d’un guide obéissant à certaines lois physiques. Plus les ingrédients physiques sont nombreux, plus le modèle de guide considéré est complexe et se rapproche d’un guide réel. Un modèle peut, a priori, être dérivé à partir de la considération de la physique de l’écoulement d’un ide. Cependant, un modèle de guide complexe peut servir de point de départ pour la dérivation d’un modèle de guide plus simple. Dans ce cas, le modèle de départ est le modèle parent, auquel on impose des contraintes pour parvenir au modèle simplifié. On met ainsi en évidence une hiérarchie entre modèles. A partir du modèle de fluide parfaitement compressible, on peut dériver par exemple le modèle hydrostatique (correspondant aux équations primitives météorologiques), puis le modèle d’un ide en eau peu profonde et en le modèle quasi-géostrophique.
Description d’un guide parfait compressible
Notre point d’entrée est la dynamique d’un guide compressible, que nous supposons parfait ( guide isentrope). Ultérieurement, nous ajoutons, respectivement, des effets moléculaires, les diffusions de quantité de mouvement et de chaleur. Ce modèle est très général et sert de « modèle parent » a la dérivation de la plupart des modèles simples, généralement considérés en dynamique des uides monophasiques a une espèce chimique, ainsi qu’en dynamique des uides géophysiques. On considère un référentiel inertiel muni d’un système de coordonnées cartésiennes x = (x; y; z) = (x1; x2; x3), ou z est la coordonnée verticale. Le guide est décrit par cinq variables, le champ vectoriel de vitesse u = (u; v; w) = (u1; u2; u3), la densité de masse et l’entropie spécifique . Ces variables sont régies par les équations suivantes [7], [40], [117] Du Dt =
Table des matières
Introduction generale
1 Quelques aspects fondamentaux des uides straties
1.1 Introduction .
1.2 Des equations du uide compressible aux equations de Navier-Stokes dans l’approximation de Boussinesq
1.2.1 Description d’un uide parfait compressible
1.2.2 Description d’un uide dissipatif et conducteur thermique .
1.2.3 Les equations de Navier-Stokes dans l’approximation de Boussinesq
1.3 La conservation de l’energie
1.3.1 Equation pour l’ energie d’un uide compressible
1.3.2 Energie mecanique du uide parfait de Boussinesq
1.3.3 Energie du uide dissipatif et conducteur de Boussinesq
1.4 Vorticite et vorticite potentielle
1.4.1 L’equation pour la vorticite
1.4.2 Consideration materielle de la vorticite et vorticite potentielle
1.4.3 Vorticite potentielle en uide stratie
1.4.4 Conservation globale de la vorticite potentielle
1.5 Decomposition des champs d’un ecoulement stratie
1.5.1 Adimensionnement isotrope
1.5.2 Adimensionnement anisotrope
1.5.3 Decomposition lineaire de Craya-Herring du champ de vitesse
1.5.4 Remarques sur le probleme de decomposition
1.5.5 Remarques
1.6 Les solutions lineaires des equations
1.7 Conclusion
2 Elements de bibliographie
2.1 Introduction
2.2 Articles de revue sur les ondes internes de gravite
2.3 Experiences en laboratoire.
2.4 Instabilite lineaire d’une onde interne
2.5 Interactions resonantes entre ondes faiblement non-lineaires
2.6 Etudes statistiques
2.7 Les simulations numeriques
2.8 Ondes nonlineaires dispersives
3 Programmation d’une methode de resolution pseudo-spectrale pour un environnement parallele a memoire distribuee
3.1 Introduction
3.2 L’algorithme pseudo-spectral de resolution des equations de Navier-Stokes
3.2.1 Position du probleme
3.2.2 Discretisation
3.3 Notions sur les architectures paralleles a memoire distribuee et leur programmation
3.3.1 Generalites
3.3.2 Architectures paralleles a memoire distribuee
3.3.3 Programmation parallele explicite utilisant des librairies d’echanges de messages
3.4 Implementation parallele de l’algorithme pseudo-spectral utilisant la bibliotheque MPI
3.4.1 Generalites concernant MPI
3.4.2 Decomposition du domaine global et creation d’une topologie cartesienne de processus
3.4.3 Programmation
3.5 La transformee de Fourier rapide
3.5.1 Generalites
3.5.2 La methode de distribution
3.5.3 La methode de transposition
3.6 Remarques sur le cas avec conditions aux limites de type symetrie
3.7 Conclusion
4 Two-dimensional breaking internal gravity waves: from instabilities to turbulence
4.1 Introduction
4.2 Equations of motion and numerical model
4.3 From instability to breaking
4.3.1 Resonant Interaction Theory
4.3.2 The structure of the instability in physical space
4.3.3 Final breakdown of the wave eld
4.4 Conclusion
5 Instabilite, deferlement et production de vorticite potentielle d’un champ d’ondes internes tridimensionnel
5.1 Introduction
5.2 Presentation des simulations numeriques
5.3 Destabilisation de l’onde primaire
5.3.1 Energie m ecanique instable
5.3.2 Vorticite verticale et vorticite potentielle
5.4 Deferlement du champ d’onde
5.4.1 Ev
olution de l’energie totale et temps de deferlement
5.4.2 Tridimensionalisation de l’ecoulement
5.4.3 Visualisation du champ de densite
5.4.4 Considerations preliminaires
5.4.5 Onde de petite amplitude
5.4.6 Onde de grande amplitude statiquement stable
5.4.7 Nombre de Richardson
5.4.8 Onde de grande amplitude statiquement instable
5.5 Vorticite de l’ecoulement
5.5.1 Composante y
5.5.2 Composante x
5.6 Implications du deferlement
5.6.1 Generalites
5.6.2 Les spectres d’energie cinetique et potentielle
5.6.3 Spectres du ux de ottabilite
5.7 Production de vorticite potentielle et ecoulement moyen
5.7.1 Valeurs efficaces des composantes de la vorticite
5.7.2 Vorticite potentielle
5.7.3 Diagnostic lineaire des composantes du mouvement .
5.8 Conclusion
6 Dynamique modiee d’un uide stablement stratie 168
6.1 Introduction
6.2 Etats d’ equilibre, pseudo-energie, equations diagnostiques
6.2.1 Etats stationnaires d’un systeme Hamiltonien
6.2.2 Application au uide stratie
6.2.3 Lien avec l’energie potentielle disponible
6.2.4 Lien avec les etats stationnaires des equations du mouvement
6.2.5 Lien avec les equations diagnostiques des tourbillons potentiels
6.2.6 Forme alternative des equations pour les tourbillons potentiels
6.3 Dynamique modiee du uide stratie
6.3.1 Presentation de la methode generale
6.3.2 Equations dynamiques modiees du uide stratie
6.3.3 Conservation des Casimirs par la dynamique modiee
6.3.4 Evolution du Hamiltonien
6.4 Conclusion
Conclusion et perspectives
A Introduction au formalisme Hamiltonien d’un uide parfait
A.1 Introduction
A.2 L’approche variationnelle
A.3 Dynamique Hamiltonienne generalisee
A.3.1 Systemes discrets
A.3.2 Systemes continus
A.4 Applications en mecanique des uides
A.4.1 Application au uide parfait compressible
A.4.2 Application au uide parfait incompressible
A.4.3 Applicat
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