Sommes et extrêmes en physique statistique et
traitement du signal

Transition de phase et moment critique

Frontière critique La combinaison de l’évaluation par contribution dominante aux moments (cf. Section 1) et des troncatures dues à la taille finie des observations (cf. Section 2) donne naissance à deux situations fort distinctes en fonction de la position relative de ym(q) (respectivement hm(a, q)) et y † (n) (respectivement h † (a, n)). Si y † (a, n) > ym(a, q), le point de concentration des moments ym appartient à la région accessible avec n observations. Les moments tronqués T, et par conséquent l’estimateur des moments S, représentent correctement la moyenne d’ensemble 3. Elle permet en effet une croissance proche de (ln n) 2 qui est déjà plus rapide que la vitesse de croissance de l’ordre critique pour les lois de type I, qui peut donc être évaluée (en utilisant des méthodes du col légèrement modifiées si besoin) par    Classe A-II : ln T(n,q) ln n ∼n→+∞ q(n)ym(q(n))−Ψ(ym(q(n))) ln n , Classe B : ln T(a,q) | ln a| ∼a→0 −(qhm(q) + ψ(hm(q)). (II.119) ce qui peut être comparé avec l’Eq. (II.77) pour vérifier que dans ce cas ln T ≈ ln E [Xq ]. Au contraire, si y † (a, n) < ym(a, q), ym appartient à la région inaccessible avec n observations. On ne dispose donc pas des informations nécessaires pour évaluer correctement le moment théorique à partir des observations. De plus, la contribution dominante au moment tronqué n’est plus localisée en ym(a, q) mais sur la borne y † (a, n) du domaine accessible. Dans ce cas, ln T(a, n, q) devient (en usant encore une fois de la méthode du col pour a → 0 ou n → +∞) :    Classe A-II : ln T(n,q) ln n ∼ q(n)y † (n)−Ψ(y † (n))+ln Ψ′ (y † (n)) ln n , Classe B : ln T(a,q) | ln a| ∼a→0 −(qh† (a, n) + ψ(h † (a, n)). (II.120) On observe donc que, pour des a suffisamment petits ou des n suffisamment grands, S subit une « transition de phase » lorsqu’on fait varier q. Cette transition a lieu à l’ordre critique q ∗ (a, n), défini par y † (a, n) = ym(a, q). (II.121) Cette égalité définit implicitement une frontière divisant le plan (n, q) (ou le plan (a, q)) en deux. Ces deux régions distinctes correspondent à un comportement différent des moments tronqués (dans le cadre théorique du REM, il s’agit d’une transition de phase entre une phase vitreuse et une phase « liquide »). Il faut également noter que l’Eq. (II.121) peut aussi être interprétée comme une définition du nombre minimal d’échantillons indépendants n ∗ a (q) nécessaire pour évaluer correctement le moment d’ordre q. De façon intéressante, l’Eq. (II.120) révèle un comportement linéaire en q de ln Sn(a, q) lorsque q ≥ q ∗ a , expliquant donc l’effet de linéarisation reporté dans [89, 96, 74, 6]. Les résultats précédents nous ont permis de définir un ordre critique q ∗ à travers un mécanisme commun au cas i.i.d. et multifractal. Le comportement de q ∗ en fonction des paramètres n ou a dépend cependant fortement du type de processus, il est donc plus pratique d’étudier séparément le comportement de q ∗ pour les classes A et B.

Ordre critique pour la classe A-II

Commençons donc par le cas i.i.d.. La combinaison de l’équation (II.121) avec les équations (II.78) et (II.100) mène à : q ∗ ln n = 1 y † y †Ψ′ (y † ) Ψ(y † ) − Ψ′′(y † ) Ψ(y † )Ψ′ (y † ) . (II.122) Sous les conditions décrites en (II.20) et (II.21), on peut montrer que le deuxième terme du membre de droite de l’équation plus haut est négligeable par rapport au 3. TRANSITION DE PHASE ET MOMENT CRITIQUE 69 CHAPITRE 4. ORDRE CRITIQUE premier, en utilisant notamment que ψ ′′(x)/ψ′ (x) ∼x→+∞ ρ − 1 x . (II.123) De plus, dans le membre de droite de l’équation (II.122), on peut reconnaître l’exposant de queue local ρl : y †Ψ′ (y † ) Ψ(y † ) = ρl(y † (n)). (II.124) Si on définit de plus θ(n) = ln n y †(n) , (II.125) q ∗ (n) peut être approché par : q ∗ (n) ≃ ρl(y † (n))θ(n), (II.126) ce qui se révélera particulièrement utile pour l’estimation pratique de q ∗ (n). Un corollaire intéressant est que le taux de croissance de q ∗ en fonction de n et ρ peut être évalué. L’équation (II.19) implique l’existence d’une fonction variant lentement L2, directement reliée à L (cf. [19]), telle que : Ψ −1 (ln n) = L2(ln n)(ln n) 1/ρ . (II.127) Si on injecte ce résultat dans l’Eq. (II.126), on obtient q ∗ (n) = ρ L2(ln n) (ln n) 1− 1 ρ . (II.128) Lorsque ρ → +∞, cette expression rappelle fortement l’Eq. (II.4), évoquée dans l’introduction de cette partie et valide pour la classe régulière de variables aléatoires. Cependant, lorsque ρ diminue et s’approche de 1, cet ordre critique s’accroît bien plus lentement en fonction de n. Par exemple, dans le cas log-normal, ρ = 2 implique que q ∗ (n) ∝ √ ln n et on peut montrer que L2(x) est asymptotiquement égale à L2(x) ∼ √ 2 erf−1 (1 − 2e −x ) √ x . (II.129) Il est intéressant de noter qu’il est possible d’utiliser l’ équation (II.126) pour calculer exactement q ∗ (n). Ordre critique pour les lois de type I On peut appliquer la méthode précédente aux lois de type I, afin d’obtenir une expression de leur ordre critique des moments. En faisant le rapport entre les équations (II.84) et (II.101), on obtient q ∗ ln n = x †φ ′  x †  φ(x † ) → ρ. (II.130) Cela signifie que q ∗ est asymptotiquement équivalent à q ∗ ∼ ρ ln n. (II.131) 

TRANSITION DE PHASE ET MOMENT CRITIQUE 

On retrouve le même ordre de grandeur que l’équation (II.4) dérivée dans [68]. Il est intéressant de noter que le facteur correctif en ln ln n de l’équation (II.4) n’apparaît pas ici. Ce n’est pas forcément surprenant étant donné que nous ne nous intéressons pas aux mêmes conditions de convergence : nous avons mis l’accent sur la convergence de ln S/ ln n vers ln E [Xq ] / ln n, alors que l’article [68] s’intéresse plus à la convergence de S(n, q). Il est donc logique d’obtenir des contraintes moins fortes dans notre cas. 3.3 Ordre critique pour la classe B Nous nous enquérons à présent du comportement asymptotique de q ∗ dans le cas multifractal dans la limite neff(a) → ∞ (ou a → 0). En pratique, cette limite est atteinte en considérant successivement des résolutions δt de plus en plus petites. Nous avons vu dans l’équation (II.58) que les variables aléatoires X(a, t) sont corrélées sur un temps caractéristique a, ha(t) doit donc être sujet à la même forme de corrélation. Une estimation naturelle de neff(a) est donc neff(a) = L a , (II.132) où L est la longueur totale du signal. Tout d’abord, nous observons que les équations (II.107) et (II.132) impliquent ψ(h † (a, n)) → 1 (II.133) lorsque a → 0. Par conséquent, h † (a, n) converge dans la limite a → 0 vers une limite finie h † 0 , indépendante de n, et uniquement déterminée par ψ(h † 0 ) = 1 ce qui, dans notre contexte multifractal, peut être réécrit comme : D(h † 0 ) = 0. (II.134) Ce résultat est particulièrement intéressant du point vue de l’analyse multifractale, et nous rediscuterons de son interprétation dans la section 4.2. Les équations (II.92) et (II.93) reposent implicitement sur l’hypothèse que h † 0 > hc. Discutons donc brièvement de cette hypothèse. En utilisant l’Eq. (II.67) et le fait que ψ est une fonction décroissante de hc à h † 0 , on peut s’apercevoir que la condition h † 0 > hc équivaut à 1 < 1 − hcqc. (II.135) Par suite, la propriété λ ′ (qc) = qc < 0, condition qui est vérifiée pour tout cas intéressant, implique h † 0 > hc. Cela confirme donc la validité des Eqs. (II.92) et (II.93). La combinaison de ces équations avec les Eqs. (II.106) et (II.121) mène à la relation : ln(neff(a)/τ) ln a = q ∗ (a)λ ′ (q ∗ (a)) − λ(q ∗ (a)). (II.136) Avec neff(a) = L/a, nous obtenons ln(L/τ ) ln a − 1 = q ∗ (a)λ ′ (q ∗ (a)) − λ(q ∗ (a)). (II.137) Dans la limite a → 0, l’Eq. (II.137) définit une limite finie q ∗ de l’ordre critique : 0 = 1 + q ∗λ ′ (q ∗ ) − λ(q ∗ ). (II.138)  On peut remarquer que le coefficient numérique 1 correspond à la limite du rapport ln neff/| ln a|. Si le nombre effectif d’échantillons variait en ln neff ≈ −α ln a, on aurait 0 = α + q ∗λ ′ (q ∗ ) − λ(q ∗ ), (II.139) ce qui correspond au résultat obtenu par [11] en considérant un processus multifractal dans lequel le nombre d’échelles intégrales considérées dépend de l’échelle a d’analyse. La comparaison des Eqs. (II.134) et (II.138) montre de plus immédiatement que : h † 0 = λ ′ (q ∗ ). (II.140) L’ordre critique q ∗ est donc indépendant de a pour a suffisamment petit. Il est important de noter que q ∗ 6= qc. En utilisant les Eqs. (II.138) et (II.51), on peut montrer aisément que q ∗ < qc. Par conséquent, l’existence d’un ordre critique jusqu’auquel Sn(a, q) évalue précisément la moyenne d’ensemble n’est pas relié à la finitude des moments de |X(a, t)| mais intervient pour des valeurs de q bien inférieures à qc. Pour des processus multifractals tels que le mouvement de Poisson composé, on vient de montrer que l’estimateur des moments (ou fonction de structure) S(a, q) ne converge pas vers la moyenne d’ensemble E [X(a, t) q ] ce quel que soit la taille d’analyse a, si q ∗ < q < qc. L’ordre critique q ∗ et l’exposant de Hölder critique h † 0 sont donc indépendants du nombre d’échantillons disponibles n. Par conséquent, accroître n (à travers une diminution de la période d’échantillonage δt) ne permet pas d’améliorer l’estimation de S(n, q > q∗ ). De plus, l’Eq. (II.137) montre qu’en pratique l’ordre critique effectif ne varie que peu avec n ou a. Il est à noter que pour certaines formes spécifiques de λ(q), il est possible que la solution de l’Eq. (II.138) soit q ∗ = +∞, ce qui peut être compris soit comme une absence d’un effet de linéarisation dans ces cas ou (interprétation qui a notre préférence) comme un rejet à l’infini de l’effet de linéarisation, effet général, pour ces cas particuliers.