Tableaux de dominos décalés

Définitions

Avant de définir les tableaux de dominos décalés, on va d’abord définir les partitions pavées décalées qui sont les partitions pavées associées aux tableaux de dominos décalés. Définition 2.1.1. Soit λ une partition pavée (cf. définition 1.1.60) ayant pour 2-quotient (cf. définition 1.1.55) la paire (µ, ν). On dit que λ est une partition pavée décalée si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : • la dernière part de µ (resp. ν) est supérieure ou égale à sa longueur ; • il n’y a pas de domino vertical d sur la diagonale principale D0, tel que d n’a que des dominos adjacents à sa gauche qui sont strictement au-dessus de D0 (non coupés par D0). Autrement dit, les deux motifs suivants sont interdit sur D0 : D0 D0 . Remarque 2.1.2. Une partition pavée décalée peut contenir un domino vertical en position (1, 1) (le domino composé des cases (1, 1) et (1, 2)). Ceci ne contredit pas la deuxième condition de la définition 2.1.1, puisque ce domino n’a aucun domino adjacent à sa gauche. Remarque 2.1.3. Une partition pavable peut être une partition pavée décalée pour certains pavages mais pas pour d’autres. Exemple 2.1.4. La partition (5, 5, 3, 1, 1) ayant pour 2-quotient la paire de partitions ((3),(3, 1, 1)) ne vérifie pas la première condition de la définition 2.1.1. Elle n’est donc pas une partition pavée décalée. En effet, la dernière part de (3, 1, 1) est strictement inférieure à son nombre de parts. La partition (8, 5, 5, 5, 5) ayant pour 2-quotient la paire de partitions ((2, 2),(4, 3, 3)) vérifie la première condition de la définition 2.1.1. Cette partition, pavée avec le pavage : D0 , 66 2.1 Définitions est une partition pavée décalée. Par contre, la même partition pavée avec le pavage : D0 , n’est pas une partition pavée décalée puisque cette dernière contient un motif interdit (dominos grisés) sur D0. Définition 2.1.5. Étant donnée une partition pavée décalée λ, un tableau de dominos décalé, cf. Figure 2.1.1 : Tableau de dominos décalé de forme (8, 5, 5, 5, 5). partie haut0 (λ) (cf. définition 1.2.43) par des X et des dominos de la partie bas0 (λ) (cf. définition 1.2.43) par des lettres appartenant à un alphabet infini totalement ordonné A0 = {1 0 < 1 < 2 0 < 2 < · · · } tel que : • les lettres sont croissantes au sens large sur les lignes de la gauche vers la droite et sur les colonnes du bas vers le haut ; • une lettre non prime apparaît au plus une fois dans chaque colonne ; • une lettre prime apparaît au plus une fois dans chaque ligne ; • une lettre prime n’apparaît jamais sur la diagonale principale D0. La forme d’un tableau de dominos décalé T 0 notée sh(T 0 ) est définie comme pour les tableaux de dominos (cf. définition 1.2.40). La taille d’un tableau de dominos décalé est la taille de sa forme. La lecture colonne et la lecture diagonale d’un tableau de dominos décalé sont définies comme pour les tableaux de dominos (cf. définition 1.2.40). L’évaluation d’un tableau de dominos décalé 67 Chapitre 2. Tableaux de dominos décalés T 0 est la composition (π1 + π1 0, π2 + π2 0, . . .), où πi est le nombre de dominos contenant la lettre i dans T 0 et πi 0 est le nombre de dominos contenant la lettre i 0 dans T 0 . Exemple 2.1.6. La lecture diagonale du tableau de dominos décalé de la Figure 2.1.1 est 11345/2 02 05 0/2/3, sa lecture colonne est 1143202 055023 et son évaluation est (2, 3, 2, 1, 2). Remarque 2.1.7. Les tableaux de dominos décalés ont les mêmes conditions de croissance que les tableaux de Young décalés. Ils sont une généralisation des tableaux de Young décalés, puisque si on considère des tableaux de dominos décalés pavés uniquement avec des dominos horizontaux, alors ils seront assimilables à des tableaux de Young décalés. Comme dans le cas des tableaux de dominos, nous allons définir les nombres de Kostka pour les tableaux de dominos décalés. 

Bijection avec les paires de tableaux de Young décalés

Les tableaux de dominos décalés et les paires de tableaux de Young décalés sont reliés par le théorème suivant. Théorème 2.2.1. Soit λ une partition pavée décalée ayant pour 2-quotient la paire (µ, ν). L’ensemble des tableaux de dominos décalés de forme λ et l’ensemble des paires de tableaux de Young décalés de forme (µ, ν) sont en bijection. Avant de démontrer le théorème 2.2.1, on va introduire quelques notions et notations dont nous aurons besoin dans la démonstration. 70 2.2 Bijection avec les paires de tableaux de Young décalés Définition 2.2.2. L’ensemble des tableaux de dominos généralisés, noté T DG, est l’ensemble des partitions pavées décalées λ, étiquetées par des lettres de l’alphabet infini totalement ordonné {1 0 < 1 < 2 0 < 2 < · · · }, vérifiant que : • les lettres sont croissantes au sens large sur les lignes de la gauche vers la droite et sur les colonnes du bas vers le haut ; • une lettre non prime apparaît au plus une fois dans chaque colonne ; • une lettre prime apparaît au plus une fois dans chaque ligne ; • une lettre prime n’apparaît jamais sur la diagonale principale D0. • une lettre sur D0 n’est pas comparable à une lettre adjacente de même couleur sur D2 (on ignore l’ordre entre ces deux lettres). Autrement dit, l’ensemble T DG est l’ensemble d’un autre type (plus général) de tableaux de dominos décalés de forme λ, à savoir, ceux dans lesquels les dominos de la partie haut0 (λ) ne sont pas étiquetés par des X, mais sont étiquetés de la même manière que les dominos de la partie bas0 (λ) et où les lettres adjacentes de même couleur appartenant à deux partie différentes ne sont pas comparables. Exemple 2.2.3. Les deux partitions pavées décalées étiquetées suivantes :  appartiennent à l’ensemble T DG. Définition 2.2.4. L’ensemble des paires de tableaux de Young généralisés, noté T Y G, est l’ensemble des paires de partitions (µ, ν) étiquetées par des lettres appartenant à l’alphabet infini totalement ordonné {1 0 < 1 < 2 0 < 2 < · · · }, vérifiant que dans µ et ν : • les lettres sont croissantes au sens large sur les lignes de la gauche vers la droite et sur les colonnes du bas vers le haut ; • une lettre non prime apparaît au plus une fois dans chaque colonne ; • une lettre prime apparaît au plus une fois dans chaque ligne ; • une lettre prime n’apparaît jamais sur la diagonale principale D0 ; 71 Chapitre 2. Tableaux de dominos décalés • une lettre sur D0 n’est pas comparable à sa lettre adjacente qui se trouve sur D1 (on ignore l’ordre entre ces deux lettres). • si la longueur de µ est supérieure ou égale à 2, et si on étiquette une cellule de µ sur D0 par `1 et on étiquette la cellule se trouvant à la même position dans ν par une lettre `2, telle que `2 > `1, alors il doit y avoir une lettre `3 juste à gauche de `2 sur la même ligne, vérifiant que `1 < `3. Exemple 2.2.5. Les deux paires de partitions étiquetées suivantes :  appartiennent à l’ensemble T Y G. Par contre, la paire de partitions étiquetées ci-dessous n’appartient pas à T Y G :     En effet, dans les cellules grisées (3, 3) on a `1 = 8 > 7 = `3 mais à la gauche de `2, toutes les lettres sont inférieures à `1. Remarque 2.2.6. Si on remplace chaque étiquette de la partie haut0 (λ) d’un élément de l’ensemble T DG (resp. chaque étiquette de la partie haut(µ) et haut(ν) d’un élément de l’ensemble T Y G) par un X, on obtient un tableau de dominos décalé (resp. une paire de tableaux de Young décalés). Pour démontrer le théorème 2.2.1, on prouve dans un premier temps qu’il existe une bijection entre l’ensemble T DG et l’ensemble T Y G. Puis, on démontre que le quotient de l’ensemble T DG par ∼= 0 est en bijection avec le quotient de l’ensemble T Y G par ∼=. Démonstration. (Théorème 2.2.1) Même si les conditions d’étiquetage des éléments de l’ensemble T DG sont différents des conditions d’étiquetage des éléments de l’ensemble des tableaux de dominos, l’algorithme Γ (cf. démonstration du théorème 1.2.45) associe à chaque élément T de forme λ dans l’ensemble T DG une unique paire de tableaux (t1, t2) de forme (µ, ν) vérifiant : • les lettres de t1 et t2 sont croissantes au sens large sur les lignes de la gauche vers la droite et sur les colonnes du bas vers le haut ; 72 2.2 Bijection avec les paires de tableaux de Young décalés • une lettre non prime apparaît au plus une fois dans chaque colonne de t1 et t2 ; • une lettre prime apparaît au plus une fois dans chaque ligne de t1 et t2 ; • une lettre prime n’apparaît jamais sur la diagonale principale D0 de t1 et t2. • une lettre sur D0 dans t1 (resp. t2) n’est pas comparable à sa lettre adjacente qui se trouve sur D1 dans t1 (resp. t2) (on ignore l’ordre entre ces deux lettres).