Analyse des tolérances de systèmes mécaniques hyperstatiques sans défauts de forme

L’analyse des tolérances est un outil d’aide à la décision, utilisé durant la phase de conception pour vérifier le respect des spécifications géométriques et des tolérances des éléments d’un produit au regard des conditions d’assemblage et des conditions fonctionnelles. Globalement, il s’agit de répondre pendant l’analyse des tolérances aux trois questions suivantes : L’approche par accumulation des tolérances est basée sur la méthode d’analyse au pire des cas pour définir des tolérances garantissant la probabilité de rebut égal à zéro. Les dimensions et les tolérances sont définies de telle manière que toutes les combinaisons possibles des pièces du mécanisme assurent son assemblage. Des domaines de variations admissibles sont définis par rapport aux écarts géométriques et aux jeux (domaines écarts et domaines jeux).  Ces concepts sont d’hypothétiques volumes euclidiens qui représentent tous les écarts possibles (la taille, l’orientation et la position des caractéristiques). Pour l’analyse des tolérances, cette représentation mathématique des tolérances permet le calcul de l’accumulation des tolérances par la somme de Minkowski des domaines écarts et jeux. L’utilisation de cette méthode au pire des cas, conduit souvent à des tolérances plus serrées et à des coûts de production élevés à cause du fait que l’occurrence qui permet de calculer les pires des cas soit faible (Hong et Chang, 2002). L’approche par accumulation des déplacements est quant à elle basée sur la méthode d’analyse statistique. Elle a pour but de déterminer la qualité d’un produit pas le biais d’une probabilité de défaillance ou d’un taux de rebut (Beaucaire et al., 2013; J-Y Dantan, A-J Qureshi, 2009; Morse, 2004; Nigam et Turner, 1995). Les écarts géométriques sont modélisés par des variables aléatoires qui suivent des distributions statistiques. Les paramètres des jeux sont modélisés par des variables libres et constituent les inconnues à identifier pour déterminer les configurations possibles d’assemblage et de fonctionnement du système mécanique. L’utilisation de la méthode d’analyse statistique conduit à des tolérances plus larges. Les coûts de productions basées sur cette méthode sont moins élevés et les produits sont d’une qualité optimale (Hong et Chang, 2002). Cette méthode de l’analyse statistique a été déployée tout au long du projet AHTOLA dans le cadre des travaux de Dumas (2014).

Analyse des tolérances des mécanismes hyperstatiques

L’analyse statistique des tolérances constitue la méthode de base du projet AHTOLA et elle représente la méthode qui est décrite dans ce chapitre pour l’étude des systèmes mécaniques hyperstatiques. Les méthodes d’analyse statistique ont été appliquées dans de nombreux travaux à de différents types de mécanisme : isostatique et hyperstatique. Les mécanismes isostatiques sont plus simples à étudier. L’étude des mécanismes hyperstatiques est plus complexe (Ballu et al., 2008). Plus récemment, Dumas et al. (2015a) ont proposé une démarche d’analyse statistique des tolérances des systèmes hyperstatiques avec jeux. La sous-section 1.2.1 est consacrée à la définition des différentes variations géométriques ainsi que la technique de modélisation choisie. La sous-section 1.2.2 décrit les étapes de modélisation du comportement géométrique d’un système mécanique. Ces étapes sont constituées de plusieurs formulations mathématiques qui sont présentées en détail. Enfin la sous-section 1.2.3 présente la formalisation mathématique des problèmes d’assemblage et fonctionnel. Les variations géométriques représentent les écarts observés entre une surface dite idéale (une surface parfaite sans défauts) et une surface non-idéale (une surface avec des imperfections). Il est donc nécessaire de maîtriser ces variations géométriques afin d’apporter des garanties sur la qualité des produits. Il existe plusieurs modèles de surfaces comme le stipule la norme ISO17450-1 et peuvent être regroupés en trois groupes (voir Figure 1.1) :  Le modèle de substitution représente une surface souvent utilisée pour approximer la surface non-idéale. C’est une représentation de la surface non-idéale pilotée par un nombre fini de paramètres qui assurent un compromis entre le niveau de détail, la difficulté de calcul et la validité des résultats. Les orientations et les positions de ce modèle dépendent de la surface réelle (Dantan, 2000). Plusieurs choix sont disponibles pour obtenir la surface de ce modèle : la tangente à l’intérieur de matière, la tangente à l’extérieur de matière et la méthode des moindres carrés (Dumas, 2014). C’est ce modèle de substitution qui est utilisé dans l’analyse des tolérances de ce chapitre.