Béton numérique

Nous avons construit au chapitre 2 un modèle numérique afin de simuler la propagation des ondes élastiques dans un milieu hétérogène élastique. Cependant ce modèle ne prend pas en compte certains phénomènes physiques observés dans le béton. Par exemple, le mortier est observé dans des mesures comme étant un matériau absorbant lors de la propagation d’onde, et sa vitesse et atténuation sont dépendantes de la fréquence de l’onde (Figure 3. 1(a)). Nous l’appelons phénomène de dispersion dans le mortier. En outre, une zone d’épaisseur de 5~50 μm, nommée Interfacial Transition Zone (ITZ), est observée autour des granulats avec la présence d’une forte porosité (Figure 3. 1(b)), et son impact sur la propagation des ondes n’est pas bien connu. Toutefois les phénomènes de multidiffusion ainsi que ceux de vieillissement du béton sont positionnés en grande partie au niveau des interfaces granulats/matrice, il est donc important de les intégrer dans notre outil de simulation.

Viscoélasticité

Le phénomène de dispersion est observé dans des mesures sur le mortier du béton [33] [35] [36] et l’élasticité linéaire ne permet pas de rendre compte de ce phénomène. Afin de le prendre en compte dans la simulation numérique, nous devons appliquer une loi de comportement viscoélastique au mortier. Dans cette section, nous rappelons d’abord l’équation d’onde dans un milieu homogène isotrope viscoélastique. Ensuite nous introduisons le modèle à facteur de qualité, 𝑄, constant qui est choisi dans notre étude. Puis, l’implantation de ce modèle dans SPECFEM2D est validée par une comparaison numérique-analytique. Enfin, nous mesurons les valeurs de 𝑄 pour le À la différence de la réponse instantanée d’un milieu élastique, un matériau viscoélastique linéaire a une mémoire. Autrement dit, il résiste et se déforme linéairement avec le temps pendant une certaine période lorsque la contrainte est appliquée, et également il ne peut pas revenir rapidement à l’état initial quand la contrainte est enlevée. Nous ne présentons ici que les équations de base pour comprendre la viscoélasticité linéaire : plus de détails peuvent être trouvés dans les travaux de Carcione [130]. le coefficient d’atténuation. En comparant avec la solution du cas élastique (Eq. 3. 8), nous observons que l’amplitude de l’onde dans le cas viscoélastique n’est plus constante, et qu’elle diminue exponentiellement avec la distance de propagation (Figure 3. 2).

Implantation du modèle à facteur 𝑄 constant dans le code SPECFEM2D

Le modèle à 𝑄 constant, qui impose des relations concernant les modules complexes du milieu, ne peut pas être implanté directement dans SPECFEM2D où le problème et la solution sont basés sur la description contrainte-déformation. Par conséquent, afin de réaliser l’implantation, SPECFEM2D utilise un modèle mécanique, le modèle généralisé de Zener, qui permet une valeur quasi-constante à 𝑄 dans un domaine fréquentiel d’intérêt. Le modèle généralisé de Zener (Generalized Zener Model en anglais) permet d’obtenir une valeur quasi-constante du facteur de qualité 𝑄 dans un domaine fréquentiel souhaité. Il s’appuie sur la construction d’un système mécanique (Figure 3. 4(a)). dans le modèle généralisé de Zener. L’algorithme d’optimisation non linéaire utilisé dans [133] permet d’approximer une valeur quasi-constante de 𝑄 dans un domaine fréquentiel cible [𝑓] avec moins de systèmes (𝑁 sur la Figure 3. 5 représente le nombre des systèmes 𝐿 dans notre étude). Nous ne précisons pas ici les détails de calcul pour optimiser 𝜏 avec cet algorithme non linéaire. Dans les paragraphes suivants, nous n’explicitons que les expressions des modules complexes et leurs facteurs de qualité après l’utilisation de cet algorithme non linéaire dans SPECFEM2D.

Nous présentons ici la méthode de discrétisation temporelle pour la convolution temporelle [134] utilisée dans SPECFEM2D. Si 𝑎 est une constante et 𝑔(𝑡) est une fonction temporelle, la fonction ℎ(𝑡) est sous forme : directe déformations / contraintes (Eq. 3. 14). En pratique, cependant, le calcul de la contrainte avec une convolution temporelle est difficile à réaliser directement dans les codes numériques travaillant dans le domaine temporel, car il faudrait stocker tout le passé du matériau, et donc stocker tous les pas de temps calculés depuis le début de la simulation. SPECFEM2D introduit des variables à mémoire dans le domaine temporel [130] afin d’éviter le calcul direct de la convolution temporelle et de le remplacer par un calcul récursif, et donc sans stockage du passé, de cette convolution.