Commande predictive a base de programmation semi definie

Commande predictive a base de programmation semi definie

Sur la stabilité et la robustesse en MPC

Ce chapitre est un résumé ou réflexion sur certains travaux en commande prédictive par rapport aux questions de stabilité et de robustesse. Il est développé autour des deux approches les plus importantes, développées pour cette stratégie de commande. Une brève description des modèles d’incertitude est faite, spécialement, l’incertitude dite bornée en norme et l’incertitude polyédrique, lesquelles seront employées dans les chapitres suivants. Finalement, sont présents les principaux résultats sur la robustesse en MPC qui servent de base pour le développement du présent travail. Toutefois avant d’aborder ces sujets, il est fait un bref examen du critère de stabilité de Lyapunov. Ce sujet reste de grande actualité et importance, car il est un point focal dans les problèmes de synthèse de contrôleurs. En particulier, beaucoup de problèmes de commande robuste, comprise la procédure de synthèse développée dans ce travail, sont résolus en tenant en compte le concept de stabilité.

Stabilité dans MPC avec des contraintes

Dans la conception des systèmes de commande, il est évident que l’une des exigences les plus importantes à vérifier est celle de la stabilité. Pour des systèmes continus linéaires et invariants dans le temps, des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité ont été données il y a plus d’un siècle par Routh et Hurwitz [Hahn (1963)]. Les conditions correspondantes pour la stabilité dans les systèmes à temps discret peuvent être trouvées, par exemple, dans le travail de Jury (1971). Toutefois ces critères algébriques intéressants pour l’analyse sont tous peu utilisables à des fins de synthèse. Un critère très utilisé pour la conception et l’étude de la stabilité de systèmes, est le critère de stabilité de Lyapunov [Hahn (1963)], qui sera expliqué par la suite. Les contrôleurs linéaires, tel que le contrôleur linéaire quadratique (LQG), sont relativement faciles à mettre en œuvre et garantissent, sous certaines hypothèses générales, la stabilité en boucle fermée. Cependant, les problèmes de commande à horizon infini n’ont Chapitre 2 Sur la stabilité et la robustesse en MPC de solution simple et « fermée » que lorsque aucune des variables du procédé n’est contrainte. La difficulté principale pour l’usage d’horizons infinis dans les processus avec contraintes est lie au fait qu’ils doivent se résoudre au moyen de méthodes numériques, qui exigent pour leur solution la mise en œuvre d’un nombre fini (même si grand) de variables. Les premiers travaux de MPC utilisaient un horizon de prédiction fini. De cette manière on pouvait incorporer de manière naturelle les contraintes dans la formulation et la conception de la stratégie de commande. L’analyse de la stabilité dans les problèmes de commande prédictive avec horizon fini, est une tâche compliquée spécialement dans le cas avec contraintes -Zafiriou (1990) et Zafiriou et Marchal (1991)-, en outre la stabilité est, en général, faible -Bitmead, Gevers et Wertz (1990), Rawlings et Muske (1993)-. Cependant, depuis le début des années 90 un grand effort est fait pour résoudre le problème de la commande prédictive stabilisante avec de nouveaux outils et sous certaines hypothèses de base. Jusqu’au début des années 90, la recherche de résultats de stabilité dans des systèmes de commande prédictive en présence de contraintes, n’avait pas été étudiée. À partir de cette date, apparaissent des travaux en horizons fini ou infini, dans lesquels il est possible de démontrer la stabilité du système contrôlé par une stratégie MPC sous certaines hypothèses de base. La démonstration de la stabilité du système, s’inspire, en général, de la théorie de Lyapunov.

Stabilité de systèmes dynamiques

Il est fait référence aux concepts stabilité et instabilité dans nombre de branches de la science. Il est commun d’entendre dire qu’une monnaie est stable; à un ingénieur dire qu’une structure est stable ou instable, à un chimiste dire qu’une réaction est stabilisée, etc… En 1892, M Lyapunov a formulé de manière précise le concept de stabilité, et ses travaux ont constitué le point de départ pour établir d’autres variantes du concept. À titre d’exemple, il est d’usage de considérer le mouvement d’une balle qui se déplace sous l’action de la gravité sur différentes surfaces comme celles montrées Figure 2.1. Dans les trois cas, la balle se trouve dans une position d’équilibre, mais quel sera le mouvement résultant si la balle est écartée « un peu » de son état d’équilibre? Dans le cas (a), la balle se maintiendra près de sa position d’équilibre en oscillant autour de celle-ci, et tendra à revenir à cette position d’équilibre, si l’on admet d’existence de frottements, phénomènes dissipateurs d’énergie mécanique (stabilité dite asymptotique). Dans ce cas, l’équilibre est dit asymptotiquement stable. Dans le cas (b), pour toute petite perturbation de la balle, celle-ci restera « près » de la position d’équilibre mais ne tendra pas à s’approcher de cette position, on parlera alors de stabilité (non asymptotique). Finalement en (c), toute petite perturbation entraînera la balle à s’éloigner de sa position d’équilibre; dans ce cas l’équilibre est alors instable.

Méthode directe ou deuxième méthode de Lyapunov

En 1892, M Lyapunov a présenté deux méthodes (appelées première et seconde méthode de Lyapunov) pour étudier la stabilité de systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles -Hahn (1963)-. La deuxième méthode permet d’obtenir des conditions suffisantes de stabilité. En mécanique, un système est stable si son énergie totale (une fonction définie positive) est continuellement décroissante (ce qui signifie que la dérivée temporelle de l’énergie totale doit être définie négative) jusqu’à atteindre un état d’équilibre. La seconde méthode de Lyapunov est basée sur une généralisation de ce fait, toutefois, pour des systèmes purement mathématiques il n’y a pas de manière simple pour définir une fonction énergie. Lyapunov a ainsi introduit ce qui est appelé fonction de Lyapunov, qui peut être vue comme une fonction énergie fictive.

Table des matières

Notations
Introduction générale
Chapitre 1 Introduction à la commande prédictive
1.1 Résumé historique de la commande prédictive
1.2 La méthodologie du MPC
1.3 Éléments du MPC
1.3.1 Modèle de prédiction
1.3.1.1 Modèle du processus
1.3.1.2 Modèle de perturbation
1.3.2 Fonction objectif et obtention de la loi de commande
1.3.2.1 Paramètres
1.3.2.2 Trajectoire de référence
1.3.2.3 Contraintes
1.4 Modélisation des contraintes
1.4.1 Restrictions sur l’amplitude du signal de commande
1.4.2 Restrictions sur la vitesse de variation du signal de commande
1.4.3 Restrictions sur l’amplitude de la sortie
1.4.4 Restrictions sur les oscillations permises dans la sortie du système
1.4.5 Restrictions pour éviter des comportements de phase de non minimale
1.4.6 Restrictions sur l’état final atteint
1.5 Conclusion
Chapitre 2 Sur la stabilité et la robustesse en MPC
2.1 Stabilité dans MPC avec des contraintes
2.1.1 Stabilité de systèmes dynamiques
2.1.1.1 Définitions
2.1.1.2 Méthode directe ou deuxième méthode de Lyapunov
2.1.1.3 Analyse de stabilité de Lyapunov de systèmes en temps discret
2.1.2 Solutions au problème de stabilité en MPC
2.1.2.1 Première Solution
2.1.2.2 Seconde Solution
2.2 Robustesse en MPC avec des contraintes
2.2.1 Modèles d’incertitude
2.2.1.1 Incertitude bornée en norme
2.2.1.2 Incertitude polyédrique
2.2.2 Incertitude en MPC
2.2.2.1 Réponse impulsionnelle tronquée
2.2.2.2 Matrice de transfert
2.2.2.3 Incertitude globale
2.2.2.4 Descriptions multimodèle
2.3 Conclusion
Chapitre 3 Commande robuste et LMI
3.1 Inégalités Matricielles Linéaires
3.1.1 Définition de LMI
3.1.2 Importance des LMI’s
3.1.2.1 La convexité
3.1.2.2 De multiples LMIs peuvent être exprimées comme une simple
3.1.2.3 Inégalités non linéaires (convexes) comme inégalités linéaires
3.2 Stabilizabilité quadratique de systèmes discrets incertains
3.2.1 Stabilizabilité par retour d’état
3.2.2 Stabilizabilité par contrôleur dynamique
3.2.2.1 Construction du contrôleur
3.3 Critères de performance
3.3.1 Critère quadratique
3.3.2 Critère H2 (D=0)
3.3.3 Critère H∞
3.3.4 Localisation de pôles
3.4 Conception de contrôleurs en utilisant des critères de performance
3.4.1 Contrôleur H2
3.4.1.1 Incertitude de type polyédrique
3.4.1.2 Incertitude bornée en norme
3.4.2 Contrôleur H∞
3.4.3 Contrôleur avec localisation de pôles
3.5 MPC robuste basé en LMI
3.6 Conclusion
Chapitre 4 MPC en utilisant les inégalités matricielles linéaires
4.1 Introduction
4.2 Formulation du problème
4.2.1 Modèle mathématique du système étendu
4.2.2 Fonction de coût
4.2.3 Caractérisation des états non mesurés (domaine d’appartenance)
4.2.4 Définition des contraintes
4.3 Conception du contrôleur quadratique
4.3.1 Fonction objectif et ellipsoïde initial
4.3.2 Contrôleur stabilisant
4.3.3 Contraintes sur l’entrée et sur la sortie
4.3.3.1 Contraintes sur l’entrée
4.3.3.2 Contraintes sur la sortie
4.3.4 Stabilité « robuste » du système
4.4 Construction du contrôleur
4.5 Autres caractérisation des états non mesurée
4.5.1 Information statistique
4.5.2 Utilisation d’un observateur
4.5.2.1 Plusieurs schémas sont possibles
4.6 Exemples numériques
4.6.1 Premier exemple (système du 2me ordre)
4.6.2 Second exemple (système d’ordre quatre)
4.7 Conclusion
Chapitre 5 MPC robuste basé LMIs
5.1 Introduction
5.2 Position du problème
5.2.1 Modèle mathématique du système incertain étendu
5.2.2 Fonction de coût
5.2.3 Caractérisation des états non mesurés
5.3 Conception du contrôleur robuste quadratique
5.3.1 Contrôleur robuste stabilisant
5.3.2 Fonction objectif et ellipsoïde initial
5.4 Construction du contrôleur robuste
5.5 Procédure de calcul du contrôleur robuste
5.5.1 Algorithme
5.6 Contrôleur dynamique robuste: incertitude polytopique
5.7 Exemples numériques
5.7.1 Premier exemple (système du 2me ordre)
5.7.2 Second exemple (système d’ordre quatre)
5.8 Conclusion
Chapitre 6 MPC robuste basé LMI’s (modèle entrée-sortie)
6.1 Introduction
6.2 Position du problème
6.2.1 Représentation d’états (équivalents)
6.2.2 Fonction objectif
6.2.3 Définition de contraintes
6.3 Conception du contrôleur quadratique
6.3.1 Fonction objectif et ellipsoïde initial
6.3.2 Contrôleur robuste stabilisant
6.3.3 Contraintes sur l’entrée et sur la sortie
6.3.3.1 Contraintes sur l’entrée
6.3.3.2 Contraintes sur la sortie
6.4 Exemples numériques
6.4.1 Premier exemple (système SISO)
6.4.2 Second exemple (système MIMO)
6.5 Conclusion
Conclusions générale
Références bibliographiques