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Les plaques minces et les tiges

Une plaque mince est un solide dont l’une des dimensions est très petite devant les deux autres dimensions. Elle est plane au repos (sinon on parle de coque). Une tige est un objet quasi unidimensionnel, dont l’épaisseur est petite devant la longueur. Les matériaux que nous considérons ont un comportement élastique linéaire, c’est-à-dire que les déformations sont proportionnelles aux contraintes appliquées. Cependant des contraintes imposées par la géométrie peuvent se manifester par un comportement non-linéaire. Pour une revue, on pourra consulter [Witten, 2007].

Etirement et flexion

Nous différencions deux types de déformations élastiques d’un solide : l’étirement et la flexion. L’étirement consiste à contraindre le solide dans le plan de sa surface (Fig. 1.4a) en en modifiant les longueurs. La flexion consiste à imposer un déplacement transverse au plan de la surface du solide (Fig. 1.4b). Dans ce cas, les longueurs ne sont pas affectées.
L’étirement est bien plus coûteux que la flexion ; si l’on applique des contraintes à une plaque, le système préfère fléchir si cela est possible. La surface est alors développable ce qui signifie que les longueurs de référence ne sont pas modifiées. La courbure de Gauss d’une surface est un invariant défini comme le produit des deux courbures principales, G = κ1κ2 (Fig. 1.4). Lorsque la surface est développable, sa courbure de Gauss est nulle. Pour certaines géométries, la courbure de Gauss ne peut pas être gardée nulle. Par exemple, il est impossible de recouvrir une sphère avec un plan sans introduire de contraintes d’étirement. Alors, si la géométrie imposée ne permet pas de rester en flexion pure, des contraintes d’étirement apparaissent mais sont focalisées dans de petites régions singulières. Partout ailleurs, la surface reste développable mais sa courbure devient grande au voisinage des singularités. Nous précisons maintenant la nature de ces singularités.

Singularités

Lorsque la plaque ne peut plus être maintenue en flexion pure, les contraintes d’étire-ment sont concentrées le long de plis. Un pli est une singularité linéique qui raccorde deux parties planes de la surface (Fig. 1.5a). Dans le cas d’une plaque d’épaisseur non-nulle, l’énergie d’étirement est focalisée autour du pli. Des singularités ponctuelles apparaissent également, appelées d-cones pour cônes développables (Fig. 1.5b). Dans ce cas, l’énergie d’étirement est focalisée au sommet d’un cône et partout ailleurs la surface est dévelop-pable. Cette singularité a été largement étudiée [Pomeau, 1995, Ben Amar and Pomeau, 1997,Cerda et al., 1999,Chaïeb and Melo, 1997]) ; nous ne rentrons pas plus dans les détails à ce sujet. Un matériau froissé est constitué d’un grand nombre de ces deux singularités qui peuvent alors interagir entre elles. Nous allons maintenant présenter quelques études qui s’intéressent spécifiquement au confinement d’objets élastiques, sans aucune exhaustivité tant la quantité de travaux est grande.

Confinement mécanique de plaques minces

Les enjeux

Sciences des matériaux

L’intérêt industriel des plaques minces est remarquable ; elles interviennent à toutes les échelles, dans des domaines multiples. Dans cette partie, nous donnons quelques exemples d’applications du confinement de plaques minces.
Certaines techniques actuellement en développement sont un enjeu important des avan-cées technologiques futures comme par exemple l’électronique sur support déformable [Ro-gers et al., 2010]. Cela permet de réduire l’espace occupé par les circuits électroniques et de ne plus avoir de contraintes de forme. A plus long terme, il serait envisageable de monter les composants sur des tissus biologiques assimilés par l’organisme en vue d’applications médicales. Il est évidemment essentiel de prévoir le comportement de tels supports sous toutes sortes de contraintes et de conditions aux limites.
Un enjeu plus classique mais incontournable est l’amélioration de la résistance des carosseries de véhicules. Courber une plaque mince en augmente sa rigidité [Ashwell, 1952] ; ce processus est utilisé pour renforcer les ailes de voitures. La forme et la rigidité d’une aile d’avion peut également être optimisée pour augmenter les performances de vol. Les phénomènes de confinement jouent un rôle dans la résistance des véhicules aux accidents. En froissant le capot d’une voiture lors d’un choc, de l’énergie est dissipée et les passagers sont mieux protégés que si le matériau était parfaitement rigide et transmettait toute l’énergie du choc.
Une question pratique est de déterminer comment plier un matériau de manière adaptée à l’utilisation. Par exemple, pour un pliage réversible, le système des ailes d’insectes comme celles des criquets est justifié [Wootton, 1981]. Le pliage se fait en accordéon suivant une « armature »solide, ainsi l’aile n’est pas endommagée. Au contraire, dans certains cas, le pliage désordonné serait plus adapté. Si le rangement a été correctement réalisé, il permet de déployer un tissu immédiatement au sortir du récipient (voile solaire, spi de voilier). Pour utiliser cette méthode, le matériau ne doit pas être sujet aux déformations plastiques lors du froissage. En fait nous profitons quotidiennement des développements en matière de pliage/dépliage avec les bouteilles compactables ou les nouvelles tentes dont le savant pliage du tissu et des arceaux permet de monter la tente instantanément.

Sciences des polymères

Une grande partie de la littérature abordant les problèmes de confinement s’intéresse au repliement de chaînes de polymères et de protéines. Dans ce cas, le repliement n’est pas nécessairement dû à une diminution de l’espace disponible ; l’interaction entre les différentes molécules composant le polymère et les molécules du solvant peuvent générer un repliement. Ces études ont été initiées par P.G. de Gennes [de Gennes and Prost, 1974] qui a établi une loi reliant la longueur d’une chaîne de polymères à la taille caratéristique de la pelote qu’elle forme lorsqu’elle est repliée. Des études plus récentes portent sur la dynamique du repliement et du déploiement sous certaines conditions de variation de température ou de nature du solvant. Une différence majeure entre ces objets et de simples structures élastiques est qu’elles sont soumises à l’agitation thermique.

Sciences du vivant

Ces dernières années, les scientifiques ont pris conscience que les systèmes biologiques étaient soumis en permanence à des contraintes mécaniques et qu’elles peuvent jouer un rôle dans la croissance et le développement des matériaux vivants. Il y a déjà longtemps que l’idée a émergé avec l’ouvrage de D’Arcy Thompson [D’Arcy-Thompson, 1917] sans être in-tensivement explorée. C’est actuellement le sujet d’étude d’un grand nombre de physiciens et de biologistes. La problématique du confinement apparaît dans divers processus.
Dans les capsides de virus se trouve un filament d’ADN, fortement compacté. Arsuaga et al. notent que le brin ne doit pas être emmêlé pour que le virus fonctionne correctement [Arsuaga et al., 2002]. Il a été observé que le filament est enroulé de manière parfaitement ordonnée dans la capside. Pourtant, dans les noyaux cellulaires, les brins sont emmêlés et forment des noeuds complexes (plusieurs croisements). Les noeuds permettent d’augmenter l’efficacité de réactions chimiques. Le confinement a tendance à augmenter la probabilité de création de noeuds.
Les contraintes mécaniques jouent un rôle déterminant dans l’embryogénèse. Farge et al. ont montré que l’expression des gènes est activée par des contraintes exercées par l’environnement extérieur [Farge, 2003]. Il y a une cascade d’activation dans le temps, chaque action induisant de nouvelles contraintes. Une image marquante de l’influence des contraintes mécanique est que le foetus est orienté dans l’utérus maternel car les contraintes ventrales et dorsales sont différentes. En biologie végétale, les feuilles en développement sont confinées dans le bourgeon et soumises à de fortes contraintes mécaniques ainsi qu’à des frustrations géométriques. La feuille se déforme pour adapter sa forme au bourgeon (Fig. 1.6). La forme finale de la feuille résulterait principalement d’un processus d’auto-organisation, la génétique ne jouant pas, à ce stade, le rôle principal [Couturier et al., 2009, Kobayashi et al., 1998].
Fig. 1.6 – Feuille d’érable argentée repliée puis la même dépliée. La feuille garde dans sa forme la mémoire du pliage dans le bourgeon. Figure extraite de [Couturier, 2009].
D’autres objets biologiques mettent à profit les déformations élastiques pour assurer leur fonctionnement. Par exemple, un grain de pollen quittant l’organe mâle d’une fleur se dessèche ce qui induit un repliement de la sphère [Katifori et al., 2010] : la zone de la surface permettant les échanges avec l’extérieur est repliée dans la sphère (Fig. 1.7). Ceci lui permet de survivre durant son vol jusqu’à une autre fleur. Une fois un organe femelle atteint, il se gonfle alors d’eau et se déplie. Ce processus de repliement se nomme l’harmomégathie.
Fig. 1.7 – Grain de pollen hydraté (gauche) et déshydraté (droite). Figure extraite de [Katifori et al., 2010].
Revenons à l’étude d’objets physiques. Nous présentons quelques expériences réalisées dans le but de comprendre les processus de confinement et détaillons les approches choisies.

Différentes approches

Penchons nous sur le cas général des structures élastiques froissées, telle une boulette de papier. De nombreuses questions se posent au sujet de sa formation. Comment une sur-face adapte-t-elle sa géométrie lorsque la taille de son environnement diminue ? A travers cette question se pose le problème de ce qui détermine la distribution spatiale des singula-rités dans la boulette. On peut l’imaginer totalement aléatoire puisqu’il est infiniment peu probable de reproduire deux fois de suite la même boulette ; mais elle pourrait être selec-tionnée par minimisation de l’énergie globale du système. Une deuxième question est de comprendre pourquoi et comment apparaissent des structures à petite échelle. Ceci laisse poindre l’espoir de placer l’étude des structures élastiques confinées dans le cadre général de l’étude de la focalisation de l’énergie. Ce problème est abordé en turbulence, domaine dans lequel les vortex jouent le rôle des singularités. Une autre problématique est suscitée par l’étude des empilements granulaires. Comme l’empilement granulaire, une surface élas-tique confinée ne ressent pas l’agitation thermique ; une fois la configuration sélectionnée, elle ne peut pas en sortir sans forçage externe. Pourtant elle tendrait à atteindre un état d’énergie fondamentale en minimisant sa courbure. A cause du fait que le matériau ne peut pas s’interpénétrer et de l’absence de fluctuations, la surface n’a pas la possibilité de relaxer vers l’équilibre global. Edwards propose pour les grains une thermodynamique basée sur une mesure du volume exclu [Edwards and Oakeshott, 1989]. De même, nous nous demandons s’il est possible d’établir une thermodynamique des structures élastiques compactées.
Nous répertorions de manière non exhaustive différentes approches suivies jusqu’à au-jourd’hui pour étudier les boulettes de papier froissé et objets assimilés.

Réseau

Un type d’approche consiste à étudier la géométrie de la surface dépliée après avoir été froissée et à caractériser le réseau de plis [Blair and Kudrolli, 2005, Andresen et al., 2007] (Fig. 1.8a). Blair et Kudrolli montrent que le réseau n’est pas entièrement connecté et que sa géométrie est dictée par celles des d-cones. Une idée émergente est que le réseau est formé par la brisure de larges plis ; le processus de compaction devrait pouvoir être comparé à celui de fragmentation.
L’intérêt d’une telle approche est le petit nombre de grandeurs considérées (géométrie du réseau, courbure des plis). Cependant, en dépliant la surface, de l’information est perdue notamment concernant les correlations des grandeurs géométriques de facettes en contact.

Motifs

De nombreuses études se sont intéressées au caractère fractal des surfaces froissées. Certaines mesurent la rugosité de la surface dépliée [Tzschichholz et al., 1995, Plouraboue and Roux, 1996]. D’autres considèrent les motifs en confinement [Gomes, 1987, Gomes et al., 1989, Gomes et al., 1991, Donato et al., 2002, Donato et al., 2003, Balankin et al., 2007b,Balankin et al., 2007a,Balankin et al., 2008,Balankin et al., 2010], en s’inspirant des résultats obtenus sur les polymères (Fig. 1.8b). Selon eux la géométrie fractale résulte des cascades de tailles des structures qui apparaissent successivement lors du confinement. Le point critiquable de ces dernières études est l’étroitesse des gammes de tailles explorées, qui restent toujours de l’ordre du centimètre.
Récemment, Lin et al. [Lin et al., 2009] ont exploré la géométrie tridimensionnelle en confinement d’une feuille d’aluminium froissée en utilisant des rayons X (Fig. 1.8c). Ils ont caractérisé les corrélations intercouches. Cambou et Menon ont utilisé la même technique expérimentale [Cambou and Menon, 2009]. Nous nous référerons à leurs résultats non encore publiés.

Non-linéaire

En suivant les toutes premières évolutions d’un objet élastique confiné, il est possible d’établir un diagramme des bifuractions et d’observer la stabilité des géométries confinées. C’est ce qu’on fait Boué et al. [Boue et al., 2006] lors d’une expérience réelle, appuyée par une expérience numérique, du confinement quasi-bidimensionnel d’un cylindre (Fig. 1.8d).

Vieillissement

Matan et al. [Matan et al., 2002] explorent la force nécessaire pour créer les struc-tures géométriques d’une feuille d’aluminium compactée, sans avoir accès à la géométrie (Fig. 1.8e). Un poids est placé sur un cylindre d’aluminium froissé et la hauteur instanta-née du cylindre est mesurée. Ils observent un phénomène de vieillissement des structures au travers d’une décroissance logarithmique de la taille de la feuille froissée. Une question qui reste ouverte après leur étude est de savoir si cela est dû au vieillisement des plis déjà existants, par exemple par fluage de matière dans les zones déformées plastiquement, ou s’il est dû à un réarrangement configurationnel des structures. Dans ce second cas, cela inspi-rerait d’utiliser les outils développés pour étudier les systèmes vitreux qui, sous contrainte, présentent des réarrangements lents des configurations.

Définition d’une thermodynamique

Si elle en avait la possibilité, la surface confinée atteindrait la configuration de plus basse énergie, celle pour laquelle la courbure est minimisée. Cependant, à cause de la non-interpénétrabilité du matériel et la friction entre les couches, le système est piégé dans une configuration d’énergie plus élevée. Sous cette interprétation du processus de confinement, l’objet compacté est analogue à un système dont le désordre est gelé tel les empilements de sphères dures ou les systèmes vitreux (cf section 1.1). Il devrait alors être possible de définir une entropie configurationnelle puis une température effective liée au système. Balankin et al. l’évoquent dans [Balankin and Huerta, 2008] sans en faire de mesures expérimentales. Deboeuf et al. [Deboeuf et al., 2009], dans une expérience de confinement bidimensionnel d’une tige dans laquelle la géométrie confinée et la force introduite sont connues, montrent que deux sous-systèmes confinés se thermalisent lorsqu’ils sont mis en contact (Fig. 1.8f). Ils mesurent une température effective sans avoir à définir d’entropie. Nous détaillerons ultérieurement cette expérience.

Notre approche

Dans les chapitres suivants, nous présentons deux expériences de compaction d’objets unidimensionnels en confinement bidimensionnel. Notre motivation est la compréhension des processus de formation d’une structure froissée du point de vue de la morphogénèse : comment les structures géométriques que sont les facettes ou les plis apparaissent-elles ? s’organisent-elles ? Comment modifient-elles les propriétés mécaniques du matériau ? Nous nous focalisons sur la caractérisation des formes géométriques créées par confinement de l’objet. En tant que physiciens, nous simplifions les systèmes pour n’en garder que les ingrédients essentiels. Nous simplifions donc une surface froissée en un fil plié, c’est-à-dire qu’au lieu d’étudier la formation de plis plastiques sur une surface dans un espace tridimensionnel, nous étudions les plis réversibles d’une ligne dans un plan.
Dans le premier chapitre, nous suivons la dynamique du confinement d’un anneau de gel en croissance. A partir d’une configuration initiale simple et commune à toutes les expériences, l’espace des configurations accessibles s’élargit. Nous nous intéressons à savoir comment émerge la complexité des géométries au cours des premières bifurcations.
Dans le second chapitre nous présentons le travail principal de cette thèse qui est une expérience de confinement d’un fil dans un potentiel radial bidimensionnel. Nous ne considérons plus la dynamique du confinement mais les géométries finales obtenues. Suivant une première approche statisique, nous décrivons la très grande diversité des géométries développées. Quelles grandeurs permettent de caractériser une géométrie et la diversité de toutes celles obtenues dans les mêmes conditions expérimentales ? Le système peut-il atteindre un équilibre ou bien est-il bloqué dans des minima locaux d’énergie ? Dans ce cas, le système est-il ergodique ? Suivant une seconde approche, en supposant que le système tend à atteindre un état fondamental d’énergie qui correspond à l’état cristallin, nous établissons une échelle du désordre de chaque géométrie individuellement. Le désordre est, dans ce système, une marque du niveau d’excitation de la configuration.

Table des matières

1 Introduction 
1.1 Empilements de sphères dures
1.2 Les plaques minces et les tiges
1.2.1 Etirement et flexion
1.2.2 Singularités
1.3 Confinement mécanique de plaques minces
1.3.1 Les enjeux
1.3.2 Différentes approches
1.3.3 Notre approche
2 Compaction par croissance d’un gel 
2.1 Dispositif expérimental
2.2 Analyse d’images
2.3 Observation
2.4 Identification du paramètre de contrôle
2.5 Résultats
2.6 Discussion
2.7 Résumé
3 Centripétation 
3.1 Dispositif expérimental
3.1.1 Matériaux
3.1.2 La cellule rotative
3.1.3 La visualisation et le contrôle
3.1.4 La configuration initiale
3.1.5 Le protocole expérimental
3.1.6 Traitement d’image
3.1.7 Ecoulements dans la cellule
3.2 De la spirale
3.3 Observation
3.4 Mesure de la distribution de masse
3.4.1 Distribution moyenne
3.4.2 Distribution radiale
3.5 Etude statistique des géométries
3.5.1 D’autres systèmes confinés
3.5.2 Distributions
3.5.3 Analogie avec la fragmentation
3.5.4 Corrélation de l’orientation des couches
3.5.5 Formation d’un anneau confinant virtuel
3.5.6 Introduction d’une échelle d’énergie
3.5.7 Ergodicité
3.5.8 Résumé
3.6 An/Isotropie des configurations
3.7 Désordre
3.7.1 Caractérisation géométrique
3.7.2 Caractérisation mécanique
3.7.3 Résumé
4 Conclusions 
II Fracture 
5 Eléments de la théorie de la fracture 87
5.1 Pourquoi étudier la fracture
5.2 Critères de propagation
5.2.1 Concentration des contraintes
5.2.2 Aspects énergétiques
5.2.3 Facteurs d’intensité
5.3 Trajectoire d’une fissure
5.3.1 Stabilité d’une fissure
5.3.2 Stabilité de la trajectoire
6 Propagation d’une fissure dans un film mince 
6.1 Dispositif expérimental
6.1.1 La machine à déchirer
6.1.2 Matériel
6.2 Stabilité de la trajectoire d’une fissure
6.3 Géométrie du film en déchirement
6.3.1 Observations
6.3.2 Visualisation
6.3.3 Résultats
6.4 Discussion
6.4.1 Interprétation de la limite rectiligne
6.4.2 Mécanismes locaux de rupture
6.4.3 Mesure de l’intensité de la force
6.5 Résumé
7 Interactions de deux fissures dans un film mince 
7.1 Déchirement versus pelage
7.2 Résultats expérimentaux
7.3 Modèle : déformations induites par un pli
7.4 Résumé
8 Conclusions 
Conclusion 
A Déflection d’une plaque sous un gradient de pression
B Préparation d’une expérience
C Distributions de contraintes engendrées par une force ponctuelle
D Publication
Résumé
Abstract
Bibliographie 

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