CONCEPTS ET OUTILS PRELIMINAIRES DE MODELISATION

Plusieurs méthodes existent pour la modélisation mathématique des problèmes de la mé­ canique du solide rigide. La prise en compte de l’évolution des outils mathématiques dans la modélisation de tels problèmes est un paramètre important dans la conception et l’élaboration de modèles généraux. Le calcul numérique et symbolique de ces modèles fait généralement appel à la notion de changement de repères pour décrire les déplacements relatifs des différents éléments du système mécanique les uns par rapport aux autres. La construction de repères conduit à la définition de systèmes de coordonnées pour la paramétrisation du groupe des déplacements et de l’espace des configurations. Ce chapitre est consacré à la présentation de l’outil mathématique qui permet une telle descrip­ tion dans la théorie des groupes et algebres de Lie. Nous allons par la suite associer une structure de module à l’algèbre de Lie des torseurs. Pour définir les systèmes de coordonnées, nécessaires à la manipulation numérique et symbolique des êtres mathématiques intervenant dans la modélisation, nous allons introduire la notion de familles fondamentales de l’algèbre de Lie des torseurs Ö comme une alternative à la notion classique de repères (i.e. systèmes d’axes) de l’espace géométrique affine £ et nous montrerons que ces deux notions sont équivalentes. Notre choix est justifié pour deux raisons essentielles:

Notion du groupe des déplacements euclidiens

En se plaçant dans le cadre de la géométrie euclidienne, la théorie mathématique des groupes peut être appliquée à l’ensemble des déplacements de corps rigides (i.e. déplacements euclidiens). Cet ensemble forme un groupe de Lie [J. Favard [FAVA-57], J-M. Hervé [HERV-78], A. Karger & J. Novak [KARG-85], D. Chevallier [CHEV-86] & [CHEV-91]] que nous noterons dans la suite D. Dire que l’ensemble 113 est un groupe de Lie signifie que cet ensemble est muni d’une structure de groupe, d’une structure de variété différentielle et que la composition et l’inversion des déplace­ ments sont des opérations différentiables [Annexe A]. Dire qu’un corps rigide C est contraint à évoluer dans un sous-groupe de ILP, signifie que ce corps est soumis à des liaisons d’origine mécanique. Nous reviendrons sur cette idée, pour développer plus amplement la notion de contraintes lors de l’étude des liaisons mécaniques [Chapitre 3]. exponentielle de torseurs. Cette fonction est définie pour tout groupe de Lie et généralise ainsi la notion d’exponentielle habituelle (sur (C) ou encore la fonction exponentielle d’opérateurs. En effet, la théorie générale des groupes et algebres de Lie permet de définir une telle application à partir de la notion de sous-groupes à un paramètre [Annexe A, paragraphe A.5.2, page 219-220]. Ainsi, si e désigne l’élément neutre du groupe pour tout torseur X 6 Ü; la solution maximale t H+ <&x (i) des équations différentielles avec condition initiale:

est un sous-groupe à un paramètre engendré par le torseur X. La fonction exponentielle du groupe O n’est autre que l’application notée « exp » telle que: expX = $jy(l). Il reste, cependant, que cette définition demeure abstraite et il faut bien passer par une représentation adéquate pour décrire les calculs. En effet, un calcul ne peut se faire qu’en termes d’une représentation opératoire. Pour contourner cette difficulté, nous allons définir l’exponentielle de torseurs à partir de l’exponentielle d’opérateurs de C(0). Pour une telle définition, nous nous devons de signaler que nous admettons un certain nombre de résultats qui se démontrent de façon générale dans la théorie des groupes et in) Soient 01 = {A’ 6 D/ || u>x || £2TTN*} et 010 = {A’ e D/ ¡| UJX !l < *-}• La restriction de l’application exponentielle à 01 définit un homéomorphisme local de Oc sur un ouvert de ©. Sa restriction à OÎQ est un homéomorphisme de OÎQ sur un voisinage ouvert U de e clans JLD. L’image par l’application réciproque de tels homéomorphismes définit la notion de « générateur infinitésimal » d’un déplacement. Dans la théorie générale des groupes et algebres de Lie on parle aussi, d’application logarithme (définie du groupe de Lie dans l’algèbre de Lie). On appelle alors générateur infinitésimal d’un déplacement son image par l’application logarithme.