Contributions à l’existence et à la contrôlabilité pour une classe d’équations intégrodifférentielles

Modélisation 

On se pose très souvent la question suivante : Comment les sciences peuvent-elles utiliser des mathématiques ? Les physiciens ne se posent guère cette question car leur science est très mathématisée : les lois fondamentales de la physique ont toutes des expressions mathématiques. Pour ce qui est des sciences du vivant, la situation est moins claire. Certaines branches (l’hérédité, la dynamique des populations, le code génétique, la cinétique biochimique) se prêtent bien à un traitement mathématique. C’est moins clair pour d’autres ! De nombreux systèmes que l’on étudie dans les sciences comme la physique, la chimie, la biologie, l’économie, etc., sont (en première approximation) des systèmes déterministes ; cela signifie que l’évolution du système au cours du temps est complètement déterminée par son état à un instant donné. Citons par exemple l’évolution des concentrations des réactifs dans une réaction chimique, l’évolution de populations (de bactéries, de lapins, etc.,) dans un système fermé, la radioactivité, etc., La description de ces systèmes se fait au moyen de quantités numériques dont il s’agit d’étudier l’évolution au cours du temps. Utiliser les mathématiques, pour modéliser le monde ou certains de ses aspects particuliers, est évidemment au coeur même de l’activité du mathématicien appliqué. La modélisation est la représentation d’un système par un autre, plus facile à appréhender. Il peut s’agir d’un système mathématique ou physique. La modélisation consiste à construire un ensemble de fonctions mathématiques décrivant un phénomène. Les objets mathématiques jouent le rôle des objets réels, et de leur connaissance on espère en tirer une compréhension sur le phénomène réel lui-même. Ainsi, pour répondre à la question posée, on peut dire que les mathématiques permettent de modéliser, c’est-à-dire de représenter, un phénomène du monde réel. L’étude mathématique de cette représentation nous informe, lorsque la représentation est bonne, sur le phénomène étudié. Cependant, un modèle mathématique n’est pas une représentation de la situation rélle telle qu’elle est, mais une caricature du phénomène étudié. Un bon modèle est celui qui simplifie au mieux le phénomène réel en question afin d’effectuer des calculs nous permettant ainsi de dégager des conclusions valables et utiles. On peut ainsi modéliser le monde physique par un espace euclidien de dimension trois (ou quatre pour prendre en compte le temps). On peut aussi modéliser un satellite tournant autour de la terre par un point dont les coordonnées varient continûment en fonction du temps, etc., 

Quelques modèles d’équations différentielles de la physique mathèmatiques 

Dans cette sous section nous allons présenter des modèles d’équations de la physique mathématiques à savoir l’équation de la chaleur et l’équation d’une corde vibrante 

 Équation de la Chaleur

 Considèrons un corps dur, isotrope et homogène, Ω, dont la température, en chaque point x ∈ Ω ⊂ R 3 , est définie par la fonction θ(t, x) en un temps t ∈ [0, b]. Soit e(t, x) l’énergie interne du corps, f(t, x) une source de chaleur à l’intérieur du corps, ρ la densité du corps et q le flux de chaleur. La loi de conservation de l’énergie est exprimée par la formule ρ ∂e ∂t = −∇ · q + f. (1.1) Cette équation est valide pour n’importe quel corps. Afin d’avoir un système bien posé, nous avons besoin de quelques résultats constitutif du corps, c’est-à-dire, quelques relations entre e et q qui dépendent de la température θ. Si les différentes parties du corps ont des températures différentes, alors la température se déplacera des parties à fortes températures vers celles à faibles températures. Donc la théorie classique de la conduction de chaleur obéit à la loi de Fourier suivante q(t, x) = −k(t, x)∇θ(t, x). (1.2) où k représente la conductivité thermique du corps et le flux de chaleur q dépend linéairement de ∇θ(le gradient de la température). Le signe négatif signifie que la direction du flux de chaleur est opposée au gradient de la température. Il est aussi supposé que l’énergie interne e du corps dépend linéairement de la température. e = e0 + Cθ (1.3) où C est la capacité du corps et e0 est une constante positive. Soit θ0(x) la température initiale à l’intérieure du corps et θ(t, x) |∂Ω= φ(t, x) la température sur les limites du corps. L’établissement de l’équation de propagation de la température dans le corps, basé sur la loi de Fourier, conduit au sytème suivant.    ∂ ∂tθ(t, x) = a 2∆θ(t, x) + F(t, x) dans ∈ [0, b] × Ω, θ(0, x) = θ0(x) dans Ω θ(t, x) = φ(t, x) sur [0, b] × ∂Ω, (1.4) oú a 2 = (kCρ) et F = (fCρ). Ce système modélise la conduction de chaleur dans un corps qui interagit avec l’extérieur. En particulier, lorsque 

 Quelques modèles d’équations différentielles de la physique mathèmatiques 

Ω est une partie de R 2 , alors on obtient l’équation de la propagation de la chaleur sur une plastique ou une membrane homogène, isotrope, mince et conducteur de chaleur. 2. Ω est une partie de R, alors on obtient l’équation de la propagation de la chaleur sur une tige très mince ou sur un fil homogène, isotrope et conducteur de chaleur. Pour étudier l’évolution temporelle d’un tel système, on considère le changement de variable suivant : Θ(t) = θ(t, ·) et F(t) = f(t, ·) Le système (1.4) devient alors le problème d’évolution suivant    Θ0 (t) = AΘ(t) + F(t) sur t ∈ [0, b], Θ(0) = Θ0, (1.5) où A est l’opérateur de Laplace avec les conditions aux bords de type Dirichlet. 

Équation d’une corde vibrante

Considèrons une corde, c’est-à-dire un fil flexible mince et inextensible, de longueur l. Supposons que la corde se trouve en équilibre suivant l’axe (x 0ox) sous l’action seulement des deux tensions. Si on applique une force f quelconque à la corde elle se met à vibrer. Le point qui se trouvait en x (en équilibre) à un moment donné se retrouve en M1 à l’instant t. On suppose que les oscillations sont transversales c’est-à-dire que le déplacement des points est perpendiculaire à l’axe (x 0ox). Soit y(t, x) le déplacement d’un point x en un temps t, f(t, x) la force appliquée au point x en un temps t. L’établissement de l’équation de la corde vibrante, basé sur le principe D’Alembert, conduit au système suivant ∂ 2 ∂t2 y(t, x) = ∂ 2 ∂x2 y(t, x) + f(t, x), t ∈ [0, b], x ∈ [0, l] (1.6) Pour déterminer avec précision les mouvements de la corde on ajoute les conditions initiales y(0, x) = y0(x) et ∂y ∂t(0, x) = y1(x), x ∈ [0, l], (1.7) Comme la corde est limitée, les conditions aux limites peuvent être de plusieurs formes. Par exemple : y(t, 0) = y(t, l) = 0, t ∈ [0, b], (1.8) ∂y ∂x(t, 0) = ∂y ∂x(t, l) = 0, t ∈ [0, b], (1.9) y(t, 0) = ∂y ∂x(t, l) = 0, t ∈ [0, b]. (1.10) 4 Chapitre 1. Introduction générale La condition (1.8) signifie que les extrémités de la corde sont fixées, la condition (1.9) signifie que les extrémités de la corde sont libres et la condition (1.10) signifie qu’une des extrémités de la corde est fixée et que l’autre est libre. Le système (1.6), (1.7), (1.8) c’est-à-dire    ∂ 2 ∂t2 y(t, x) = ∂ 2 ∂x2 y(t, x) + f(t, x), t ∈ [0, b], x ∈ [0, l] y(0, x) = 0, ∂y ∂t(0, x) = 0, x ∈ [0, l] y(t, 0) = 0, y(t, l) = 0 t ∈ [0, b], (1.11) est le premier problème mixte de l’équation de vibration, il modélise la vibration d’une corde fixée des deux extrémités. Le système (1.6), (1.7), (1.9) c’est-à-dire    ∂ 2 ∂t2 y(t, x) = ∂ 2 ∂x2 y(t, x) + f(t, x), t ∈ [0, b], x ∈ [0, l] y(0, x) = 0, ∂y ∂t(0, x) = 0, x ∈ [0, l] ∂y ∂x(t, 0) = ∂y ∂x(t, l) = 0, t ∈ [0, b], (1.12) est le deuxième problème mixte de l’équation de vibration, il modélise la vibration d’une corde dont les deux extrémités sont libres. Ces sytèmes jouent un rôle important et sont rencontrés dans différent domaine de la physique, biologie, chimie etc., Ces modèles ont longtemps joué des rôles importants dans la modélisation de plusieurs phénomènes, cependant la plupart des corps sont à mémoire et la modélisation de ces derniers fait apparaître une équation intégrodifférentielle.

Quelques modèles d’équations intégrodifférentielles de la physique mathèmatiques

Durant le siécle dernier, dans plusieurs domaines de la science et de l’ingénierie, tel que la conduction de chaleur dans les matériels avec mémoire, visco-élasticité (phénomène héréditaire) et les réacteurs dynamiques, il est apparu une équation intégrodifférentielle de la forme :    ∂θ ∂t = ∆θ + Z t 0 Bθ(s)ds + f sur t ∈ [0, b], θ(0, x) = θ0(x) dans Ω θ(t, x) = 0 sur [0, b] × ∂Ω, (1.13) 1.3. Quelques modèles d’équations intégrodifférentielles de la physique mathèmatiques 5 où B, dans l’intégrale de Volterra (terme à mémoire), est un opérateur différentiel d’ordre β ≤ 2. En général, ce terme intégral reflète la mémoire, rétroaction ou feedback (contrôle par retour de l’information) ou d’autres mécanismes des systèmes dynamiques. Les équations intégrodifférentielles décrivent des processus pour lesquels le changement d’état est déterminé par tous les états antérieurs.

 Flux de chaleur dans les matériaux à mémoire 

On peut citer deux inconvénients dans l’établissement de l’équation de la chaleur (1.4) à savoir : i) Elle ne prend pas en compte les effets mémoire qui peuvent exister dans certain corps, par exemple le bois, les polymères, les plastiques, la glace, etc., ii) L’équation de la chaleur (1.4) prédit un résultat irréaliste c’est-à-dire une perturbation thermique à un point est propagée instantanément dans tout le corps. Cette observation laisse penser que la loi de Fourier peut être une approximation limitée. Cela a conduit à Coleman[27] et Gurtin [59] de proposer une théorie à mémoire non-linéaire de la conduction de la chaleur qui est indépendante de ∇ et dont la vitesse de l’onde est fini. Lorsque cette relation constitutive est linéarisée, elle conduit au flux de chaleur suivant q(t) = − Z t 0 k(s)∇(t − s)ds (1.14) pour un corps isotrope. Cette forme spéciale s’est avérée très utile pour décrire la transformation des impulsions de chaleur dans le liquide d’hélium et dans quelques diélectriques à basse températures. Par ailleurs, Coleman, Gurtin [28] et Nunziato [90] ont considéré une théorie à mémoire qui dépend aussi du gradient de la température ∇θ, c’est-à-dire le flux de chaleur est donné par q(t) = −a(0)∇θ(t) − Z t −∞ a 0 (s)∇θ(t − s)ds (1.15) où a est la fonction de relaxation de la conduction thermique et a(0) ≥ 0. Une relation similaire à l’équation (1.15) pour l’énergie interne donnée par e(t) = e0 + b(0)θ(t) + Z t −∞ b 0 (s)θ(t − s)ds (1.16) peut être supposée. Donc, ces relations conduisent à une nouvelle équation de la chaleur b(0)∂θ ∂t = −a(0)∇θ − b 0 (0)θ + Z t 0 [a 0 (s)∇θ(t − s) − b 00(s)u(t − s)]ds (1.17) 6 Chapitre 1. Introduction générale R. K. Miller [86] a étudié le système suivant :    e(t, x) = e0 + α(0)θ(t, x) + Z t −∞ α 0 (t − s)θ(s, x)ds, q(t, x) = −k(0)∇θ(t, x) − Z t −∞ k 0 (t − s)∇θ(s, x)ds, e 0 (t, x) = −∇.q(t, x) + F(t, x), (1.18) où 0 ≤ t < ∞ et x est un vecteur dans un espace de dimension n. Ce système modélise la conduction de chaleur dans un matériau rigide. La fonction θ est la température, α(t) représente la relation énergie-température au temps t et k(t) est la relation de la conduction de la chaleur. On assume que α et k sont continues et satisfont quelques autres conditions additionnelles [86]. Pour k(0) = 0, cette équation représente la théorie linéarisée pour le flux de chaleur dans un matériau rigide, isotrope, homogène comme développé par Gurtin et Pipkin [59]. Pour k(0) > 0, les équations représentent une théorie linéarisée alternative proposée par Coleman et Gurtin [28], voir aussi Gurtin.