CONTRÔLABILITE EXACTE DE L’EQUATION
DES ONDES

Etude de la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes par de la méthode variationnelle

Soit Ω un ouvert borné de R n , n ≥ 1 de frontiére Γ de classe C 2 et ω un ouvert non vide de Ω et T > 0. Nous considérons le problème de l’équation des ondes suivant dans le cylindre Q := (0, T) × Ω. (2.1)    u 00 − ∆u = f1ω dans Q. u(x, 0) = u 0 , u0 (x, 0) = u 1 dans Ω. u = 0 sur Σ = (0, T) × ∂Ω. par u 0désigne la dérivée de la fonction u par rapport au temps. Dans (2.1) u = u(x, t) est l’état du système et f = f(x, t) est le contrôle du système de 43 support ω. Les conditions d’existences et d’unicités de ce système ont été mentionnées dans le chapitre précédent, cependant il faut noter que l’équation des ondes est reversible dans le temps. Désormais, nous pouvons la résoudre pour t ∈ (0, T) en considérant l’instant initiale (u 0 , u1 ) à t = 0 o`u l’instant final (u 0 T , u1 T ). En ce référant, au chapitre 1. Dans le premier cas la solution est donné par (2.2) (u, u0 )(t) = S(t)(u 0 , u1 ) +t 0 S(t − s)(0, f(s)1ω)ds et dans le deuxième cas par (2.3) (u, u0 )(t) = S(T − t)(u 0 T , u1 T ) +t 0 S(s − T + t)(0, f(s)1ω)ds 2.0.2 Problème de contrôlabilité Le caractère reversible et le manque d’effets de régularité de l’équation des ondes sont des éléments importants pour l’étude de la contrôlabilité éxacte par la méthode variationnelle. Néanmoins, il existe des situations o`u la contrôlabilité exacte n’est pas vérifiée mais la contrôlabilité approchée peut être vérifiée. Cela dépend de la géométrie de Ω et ω. 2.0.3 Approche variationnelle Dans cette partie nous allons essayer de dégager une condition nécessaire et suffisante pour la contrôlabilité exacte du système (2.1). Pour (ϕ 0 T , ϕ1 T ) ∈ L 2 (Ω) × H−1 (Ω),considérons le système homogène suivant 44 (2.4)    ϕ 00 − ∆ϕ = 0 dans Q. ϕ(T, .) = ϕ 0 T , ϕ0 (T, .) = ϕ 1 T dans Ω. ϕ = 0 sur Σ = (0, T) × ∂Ω. qui admet une unique solution (ϕ, ϕ0 ) ∈ C([0, T] , L2 (Ω) × H −1 (Ω)) Lemme 2.1 Il existe un contrôle f conduisant la solution du système (2.1) de l’état initiale (u 0 , u1 ) vers l’état l’état d’équilibre (0, 0) à l’instant T si et seulement si on a la relation suivante (2.5) T 0 ωϕf dxdt = ­ ϕ 0 (0), u0 ® H−1,H1 0 −Ω ϕ(0)u 1 dx pour tout couple (ϕ 0 T , ϕ1 T ) ∈ L 2 (Ω) × H−1 (Ω) o`u ϕ est la solution du système (2.4). Preuve. Supposons que (u 0 , u1 ),(ϕ 0 T , ϕ1 T ) ∈ D(Ω)×D(Ω), f ∈ D((0, T)× ω) et, u et ϕ sont les solutions respectives de (2.1) et (2.4). En multipliant l’équation de u par ϕ et en intégrant sur Q,on obtient (2.6) T 0 ωϕf dxdt = T 0 Ωϕ(u 00 − ∆u)dxdt T 0 Ωϕ(u 00 − ∆u)dxdt = Ω |(ϕu0 − ϕ 0u)dx| T 0 +T 0 Ωu(ϕ 00 − ∆ϕ)dxdt = Ω [ϕ(T)u 0 (T) − ϕ 0 (T)u(T)] dx −Ω [ϕ(0)u 0 (0) − ϕ 0 (0)u(0)] dx d’o`u,on a (2.7) T 0 ωϕf dxdt =Ω £ ϕ 0 T u 0 (T) − ϕ 1 T u(T) ¤ dx −Ω £ ϕ(0)u 1 − ϕ 0 (0)u 0 ¤ dx 45 Nous en déduisons en passant à la limite dans (2.7), que pour tout couple (u 0 , u1 ) ∈ H1 0 (Ω) × L 2 (Ω) et (ϕ 0 T , ϕ1 T ) ∈ L 2 (Ω) × H−1 (Ω), (2.8) T 0 ωϕf dxdt = − ­ ϕ 1 T , u(T) ® H−1,H1 0 +Ωϕ 0 T u 0 (T)dx+ ­ ϕ 0 (0), u0 ® H−1,H1 0 −Ωϕ(0)u 1 dx Maintenant, d’après la relation (2.8) il vient immédiatement que (2.5) est vérifiée si te seulement si la solution u(x, t) du système (2.1) est contrôlable et f représente le contrôle. Ce qui compléte la preuve. En effet, pour (ϕ 0 T , ϕ1 T ) ∈ L 2 (Ω) × H−1 (Ω)considérons l’équation homogène suivante avec les conditions aux bord de Dirichlet (2.9)    ϕ 00 − ∆ϕ = 0 dans Q. ϕ(0, .) = ϕ 0 , ϕ0 (0, .) = ϕ 1 dans Ω. ϕ = 0 sur Σ = (0, T) × ∂Ω. Dans ce cas le lemme 2.1peut être formuler comme suit : Lemme 2.2 Il existe un contrôle f ramenant la solution du système (2.1) de l’état initiale (u 0 , u1 ) vers l’état l’état d’équilibre (0, 0) à l’instant T si et seulement si on a la relation suivante (2.10) T 0 ωϕf dxdt = ­ ϕ 1 , u0 ® H−1,H1 0 −Ω ϕ 0u 1 dx pour tout couple (ϕ 0 , ϕ1 ) ∈ L 2 (Ω) × H−1 (Ω) o`u ϕ est la solution du système (2.9). On definit alors le produit scalaire entre les espaces L 2 (Ω) × H−1 (Ω) et H1 0 (Ω) × L 2 (Ω) par ­ (ϕ 0 , ϕ1 ),(u 0 , u1 ) ® = ­ ϕ 1 , u0 ® H−1,H1 0 −Ω ϕ 0u 1 dx 46 nous pouvons écrire alors (2.11) T 0 ωϕf dxdt = ­ (ϕ 0 , ϕ1 ),(u 0 , u1 ) ® La résolution de cette équation est équivalente à rechercher les points critiques minimisant la fonction quadratique J définie par (2.12) J : L 2 (Ω) × H−1 (Ω) → R, (ϕ 0 , ϕ1 ) → J(ϕ 0 , ϕ1 ) = 1 2 T 0 ω |ϕ| 2 dxdt + h(ϕ 0 , ϕ1 ),(u 0 , u1 )i o`u ϕ est la solution du système (2.9) associée aux valeurs initiales (ϕ 0 , ϕ1 ) ∈ L 2 (Ω) × H−1 (Ω). Nous avons le théorème suivant. Théorème 2.1 Si J admet un minimum (ϕc0 , ϕc1 ) appartenant àL 2 (Ω) ×H−1 (Ω), et si ϕb est la solution du système (2.9) associée aux valeurs (ϕc0 , ϕc1 ) alors le contrôle (2.13) f = ϕb1ω. Preuve. Comme J atteint son minimum au point (ϕc0 , ϕc1 ), on a alors lim h→0 1 h (J((ϕc0 , ϕc1 )+h(ϕ 0 , ϕ1 ))−J(ϕc0 , ϕc1 )) =T 0 ωϕϕdxdt b +Ωϕ 0u 1 dx− ­ ϕ 1 , u0 ® H−1,H1 0 = 0. pour tout couple (ϕ 0 , ϕ1 ) ∈ L 2 (Ω)× H−1 (Ω), o`u ϕ est la solution du système (2.9). Le lemme 2.2 montre bien f = ϕb1ω est le contrôle conduisant l’état du système (2, 1) de l’état initial (u 0 , u1 ) à l’état d’équilibre (0, 0) à l’instant T. De là, si J admet un minimum sur L 2 (Ω) × H−1 (Ω) le problème sera résolu. Nous allons se servir du lemme suivant. 47 Théorème 2.2 Etant donné un espace de Hilbert H dont la norme est notée ||.|| ,soit J une application de H dans R strictement convexe, coersive (i.e lim ||v||→+∞ J(v) = +∞) et différentiable, et soit K un sous-ensemble non vide, convexe, fermé de H. Alors il existe un unique ξ ∈ K tel que J(ξ) = min v∈K J(v). En effet, il est facile de voir que J est continue et convexe. Par conséquent, l’éxistence d’un minimum est assuré si de plus elle est coersive. Nous savons que d’après le chapitre 1, que l’équation homogène (2.9) est observable à l’instant T, donc il existe une constante C1 positive tel que l’inégalité suivante est vérifiée (2.14) C1 ¯ ¯ ¯ ¯(ϕ 0 , ϕ1 ) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 L2(Ω)×H−1(Ω) ≤ T 0 ω |ϕ| 2 dxdt pour tout couple (ϕ 0 , ϕ1 ) ∈ L 2 (Ω) × H−1 (Ω) o`u ϕ est la solution du système (2.9). La coersivité de J découle immédiatement de (2.13). En effet, J(ϕ 0 , ϕ1 ) ≥ 1 2 ³ T 0 ω |ϕ| 2 dxdt − ||(ϕ 0 , ϕ1 )||L2(Ω)×H−1(Ω) ||(u 0 , u1 )||H1 0 (Ω)×L2(Ω)´ ≥ C1 2 ||(ϕ 0 , ϕ1 )||2 L2(Ω)×H−1(Ω) − 1 2 ||(ϕ 0 , ϕ1 )||L2(Ω)×H−1(Ω) ||(u 0 , u1 )||H1 0 (Ω)×L2(Ω) il s’ensuit d’après le théorème 2.2 que J admet un minimum (ϕc0 , ϕc1 ) ∈ L 2 (Ω) ×H−1 (Ω). Montrons alors, que J est strictement convexe pour prouver l’unicité de ce minimum. Soit (ϕ 0 , ϕ1 ),(ψ 0 , ψ1 ) ∈ L 2 (Ω) ×H−1 (Ω) et λ ∈ (0, 1). On a J(λ(ϕ 0 , ϕ1 )+(1−λ)(ψ 0 , ψ1 )) = λJ(ϕ 0 , ϕ1 )+(1−λ)J(ψ 0 , ψ1 )− λ(1 − λ) 2 T 0 ω |ϕ − ψ| 2 dxdt. 48 d’après (2.13),il s’ensuit que T 0 ω |ϕ − ψ| 2 dxdt ≥ C1 ¯ ¯ ¯ ¯(ϕ 0 , ϕ1 ) − (ψ 0 , ψ1 ) ¯ ¯ ¯ ¯ L2(Ω)×H−1(Ω). par conséquent, pour tout couple (ϕ 0 , ϕ1 ) 6= (ψ 0 , ψ1 ), J(λ(ϕ 0 , ϕ1 ) + (1 − λ)(ψ 0 , ψ1 )) ≤ λJ(ϕ 0 , ϕ1 ) + (1 − λ)J(ψ 0 , ψ1 ) et J est strictement convexe. Ces résultats ainsi obtenus sous l’hypothése de (2.13) garantissent, que le système (2.1) est exactement contrôlable. De plus, le contrôle f = ϕb1ω,o`u ϕb est la solution du système (2.9) associée aux valeurs initiales (ϕc0 , ϕc1 ) minimisant la fonctionnelle J. On observe qu’ ici, que l’étude de la contrôlabilité exacte par la méthode variationnelle est réduite à un problème de minimisation. La proposition suivante montre que le contrôle obtenu par la méthode variationnelle a une norme minimale dans L 2 ((0, T) × ω). Proposition 2.1 Soit f = ϕb1ω le contrôle obtenu en minimisant la fonctionnelle J.Si g ∈ L 2 ((0, T)×ω) est un autre contrôle qui permet de conduire l’état du système (2.1) de l’état initial (u 0 , u1 ) vers l’état d’équilibre alors (2.15) ||f||L2((0,T)×ω) ≤ ||g||L2((0,T)×ω). Preuve. Soit (ϕc0 , ϕc1 ) le minimum de la fonctionnelle J.Considérons d’un part la relation (2.10) pour le contrôle f = ϕb1ω. Nous obtenons que ||f||2 L2((0,T)×ω) = T 0 ω |ϕb| 2 dxdt = ­ ϕb 1 , u0 ® H−1,H1 0 −Ω ϕb 0u 1 dx. et d’autre part, pour le contrôle g avec la fonction test (ϕc0 , ϕc1 ) donne T 0 ω gϕdxdt b = ­ ϕb 1 , u0 ® H−1,H1 0 −Ω ϕb 0u 1 dx. 49 Nous obtenons que ||f||2 L2((0,T)×ω) = hϕb 1 , u0 iH−1,H1 0 −Ω ϕb 0u 1dx = T 0 ω gϕdxdt b ≤ ||ϕb||L2((0,T)×ω) ||g||L2((0,T)×ω). = ||f||L2((0,T)×ω) ||g||L2((0,T)×ω). soit ||f||L2((0,T)×ω) ≤ ||g||L2((0,T)×ω). 2.1 Application en dimension 1 Considerons un intervalle I ⊂ [0, 1] avec |I| > 0 et T > 2. Nous nous interessons au problème de contrôle suivant.Pour des données initiales (u 0 , u1 ) ∈ H1 0 (I) × L 2 (I) existe t’-il un contrôle f ∈ L 2 ((0, T) × I) tel que la solution du système (2.16)    utt(t, x) − uxx(t, x) = f(x, t)1I , x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T) u(t, 0) = u(t, 1) = 0 , t ∈ (0, T) u(0, x) = u 0 (x), ut(0, x) = u 1 (x) , x ∈ (0, 1) sastifasse (2.17) u(T, .) = ut(T, .) = 0. D’aprés l’étude ci-dessous le problème de contrôle est résolu si l’inégalité suivante est vérifiée pour tout couple (w 0 , w1 ) ∈ L 2 (0, 1) × H−1 (0, 1). (2.18) C1k(w 0 , w1 )k 2 L2(0,1)×H−1(0,1) ≤ Z T 0 Z I |w(x, t)| 2 dxdt ≤ C2k(w 0 , w1 )k 2 L2(0,1)×H−1(0,1) 50 o`u w est la solution du systéme adjoint suivant (2.19)    wtt(t, x) − wxx(t, x) = 0, x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T) w(t, 0) = w(t, 1) = 0, t ∈ (0, T) w(0, x) = w 0 (x), wt(0, x) = w 1 (x), x ∈ (0, 1) De la, le problème de la contrôlabilité exacte du système (2.15) peut être réduite à l’étude des solutions du système (2.18) à valeurs initiales dans L 2 (0, 1) × H−1 (0, 1) et plus précisément à prouver l’inégalité (2.17). Remarque 2.1 Dans la suite l’existence de deux constantes positives C1 et C2 telle que (2.17) soit vérifée pour tout (w 0 , w1 ) ∈ L 2 (0, 1) × H−1 (0, 1) o`u w est la solution du systéme adjoint traduit une équivalence de normes. (2.20) k(w 0 , w1 )k 2 L2(0,1)×H−1(0,1) ‘ Z T 0 Z I |w(x, t)| 2 dxd.