Cours notions sur la distribution de Dirac

La distribution de DiracExtrait du cours notions sur la distribution de Dirac

1 Introduction.
Les mathématiques « classiques » analysent les relations entre des fonctions continues et dérivables et  se révèlent un outil commode pour traiter les systèmes régis par des équations différentielles, à condition  que l’excitation soit une fonction continue et dérivable.
Exemple: réponse d’un circuit RLC à une excitation e(t ) sinusoïdale.Dans certains cas, en physique, l’excitation e(t ) est de très courte durée du point de vue de l’observateur -flash d’un appareil photo par exemple. L’excitation e(t ) est nulle avant le déclenchement du flash, très intense pendant un instant très bref, puis nulle ensuite. On est alors obligé de renoncer à une expression de l’excitation e(t ) en raison des énormes discontinuités ou des variations non analysables. Les excitations e(t ) ne sont en effet ni dérivables, ni même continues par morceaux. Ce ne sont pas des fonctions mais des distributions .
2 Échelon unité, distribution de Dirac.
2.1 Échelon unité u(t).
On peut encore considérer u(t ) comme une fonction, mais elle n’est ni continue ni dérivable. Sa dérivée n’est donc pas une fonction: c’est une distribution nommée DISTRIBUTION DE DIRAC ou encore IMPULSION DE DIRAC notée d (t ).
2.2 Distribution de Dirac.
Pour mieux comprendre cette distribution d (t ), considérons l’échelon u(t ) comme la limite quand tm de la fonction y(t ) représentée ci – dessous et indéfiniment dérivable. La distribution d (t ) sera alors la limite quand t de la dérivée y’(t ) de y(t ).
2.3 Aspect physique du passage à la limite pour obtenir une impulsion de Dirac.
Considérer l’impulsion d (t ) comme la limite d’une fonction n’a rien d’artificiel mais correspond au contraire à la stricte réalité physique. En effet u(t ) et d (t ) ne sont que des idéalisations mathématiques de la réalité physique des phénomènes. Dans la réalité, un échelon ou une impulsion (de tension, de pression, de force, d’intensité lumineuse) possède toujours un temps de montée tm non nul. Un système physique met toujours un certain temps pour passer d’un état vers un autre. Cependant, le point important à retenir est le suivant:
Un signal physique y(t ) correspondant au passage d’un état (1) vers un état (2) pourra être considéré comme un échelon chaque fois que son temps de montée t m sera négligeable devant les  autres temps mis en jeu dans le circuit. Il en est de même pour une impulsion.

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