Equations Intégro-différentielles à retard infini de type neutre

Equation différentielle à retard L’équation (2.4) est dite équation à retard si a0 6= 0 et a1 = 0. On définit une équation à retard comme une équation décrivant le comportement d’un système dont le taux de variation de son état dépend de ceux du passé et actuel du système. Malgrés leurs structures parfois assez compliquées, les équations différentielles à retard répondent toujours à la propriété de Volterra qui dit que l’état du système dépend toujours du passé et du présent. Nous donnons à présent la formule générale d’une équation différentielle à retard : u˙(t) = F(t, ut), t ≥ 0, (2.5) où F est un opérateur fonctionnel qui dépend du temps t et d’une fonction continue ut définie par ut(θ) = u(t+θ), θ ∈ [−r, 0] ; r ≥ 0. ut(θ) est alors une fonction historique décrivant une partie de la solution dans un passé proche que nous représentons graphiquement par : Figure 2.1 – Fonction historique de u Exemples de modèles à retards

Equation différentielle à retard de type neutre 

On dit qu’une équation de la forme (2.4) est une équation à retard de type neutre si a0 6= 0 et a1 6= 0. Une équation à retard de type neutre est une équation différentielle dans laquelle, le passé et les vatiations du passé sont pris en compte. La forme générale d’une équation différentielle fonctionnelle de type neutre est la suivante : u˙(t) = F(t, ut , u˙t) t ≥ 0. (2.6) Le terme u˙t est défini par u˙t(θ) = ˙u(t + θ) pour θ ∈ [−r, 0]. Nous considérons la définition suivante de Jack Hale : d dt[u(t) − G(t, ut)] = F(t, ut). (2.7) Soit r = sup r(t) avec r(t) le temps de retard tel que ut soit définie sur [−r, 0]. Si r est fini, alors on dit qu’on a une équation à retard fini. Si r est infini, alors on dit qu’on a une équation à retard infini. Notons que pour r fini, si u est continue, alors ut est continue de [0, +∞[ dans C([−r, 0], X). Ce qui n’est pas le cas en générale pour le retard infini, où nous allons utiliser un espace de phase B avec des axiomes bien appropriés pour assurer la continuité de la fonction historique ut . Ces axiomes seront évoqués à la fin de ce chapitre. 

 Exemples de modèles à retards

 Nous allons, dans cette section donner quelques exemples de modèles à retards rencontrés en Biologie, en Medecine et en Physique. En Biologie, Hutchinson [11] en 1948 a proposé une généralisation des équations de Malthus en 1798 et de Verlhust [19] en 1838 donnée par la formule suivante : N˙ (t) = F(t, N(t)) = τ (1 − N(t − r)/K)N(t), (2.8) où N(t) est la taille de la population à l’instant t, τ est le coefficient de Malthus de croissance linéaire qui représente la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité, K la taille de la population. En Medecine, Culshaw et al. [2] ont proposé le modèle de transmission du VIH suivant : dC(t) dt = rC(t)(1 − C(t) + I(t) CM ) − kI I(t)C(t), (2.9) dI(t) dt = k 0 I ˆ t −∞ I(u)C(u)g p a (t − u)du − µI I(t). (2.10) Ici C représente la concentration des cellules saines, I la concentration des cellules infectées, k 0 I /kI la fraction de cellules saines durant l’incubation et, g p a (u) = a pu p−1 e −au (p − 1)! , (2.22) Axiomes sur l’espace de phase 16 représentant le noyau est la fonction de densité de la distribution gamma. En Physique, Lodge et al.[12] ont proposé le modèle de conduction de la chaleur d’un matériau à mémoire suivant : ∂u(t, x) ∂t = (∆ + c) ˆ t −∞ L(t − s)u(s, x)ds + L0u(t, x) + F(t, x), t ≥ 0, (2.11) qui est une équation intégro-différentielle où ∆ est le Laplacien. 2.4 Equations intégro-différentielles de Volterra Une équation différentielle intégrale ou équation intégro-différentielle est une équation qui lie les dérivées d’une certaine fonction inconnue et ses intégrales. Elle intervient dans des domaines tels que la Biologie, la Médecine, la Physique etc. Volterra considére le modèle Biologique suivant : dN(t) dt = F(t, N(t))N(t) = τ  1 − 1/K ˆ t −∞ H(t − s)f(N(s))ds N(t), où H appelé le noyau est le facteur de pondération à la taille de la population antérieure au temps t indiquant l’importance qui doit être accordée à la taille de la population antérieure au temps t. Notons tout de même que le mouvement migratoire des espèces peut être subordonnée à des facteurs qui leur sont favorables. Cohen, Hang et Simpson [3] ont établi un modèle de réaction-diffusion qui permet de prendre en compte ces facteurs. Le modèle est le suivant : ∂u ∂t (t, x) = δ ∂ 2u ∂x2 (t, x) + ˆ ∞ 0 (l(s) − k(s))u(t − s, x)ds, (2.12) où les termes ˆ ∞ 0 l(s)u(t − s, x)ds et ˆ ∞ 0 k(s)u(t − s, x)ds, représentent respectivement la croissance et le processus de décroissance des proies et la consommation des prédateurs dans la population de proies. Les fonctions l et k sont des fonctions poids pour les effets héréditaires. 

 Axiomes sur l’espace de phase

 Dans cette section, nous présentons des axiomes sur l’espace de phase qui permettent de traiter le cas du retard infini dans les systèmes intégro-différentiels. Soient 0 < r ≤ ∞ , A > 0, u : [σ − r, σ + A[→ R n , ut : [−r, 0] → R n , définie par ut(σ) = u(t + σ) pour t ∈ [σ, σ + A[ et −r ≤ σ ≤ 0. On considère : u˙(t) = F(t, ut) pour t ≥ 0, (2.13) Axiomes sur l’espace de phase 17 où F(t, ϕ) est définie pour t ≥ 0 et ϕ définies de [−r, 0] dans X. Dans le cas du retard infini, Hino [10] établi que : B est un espace linéaire de fonctions définies de ] − ∞, 0] dans l’espace de Banach X muni de la norme k.kB et satisfaisant les axiomes ainsi qui suit : (A1) Il existe une constante positive H et des fonctions K(.), M(.) : R + → R +, avec K continue et M localement bornée, telles que, pour tout σ ∈ R et a > 0, si u : ] − ∞, σ + a] → X, uσ ∈ B et u(.) est continue sur [σ, σ + a], alors pour chaque t ∈ [σ, σ + a] les conditions suivantes restent vérifiées : (i) ut ∈ B, (ii) |u(t)| ≤ HkutkB, (iii) kutkB ≤ K(t − σ) sup σ≤s≤t |u(s)| + M(t − σ)kuσkB. (A2) Pour la fonction u(.) qui satisfait (A1), t → ut est continue et à valeurs dans l’espace B pour t ∈ [σ, σ + a]. (A3) L’espace linéaire B est complet. (A4) Si (φn)n≥0 est une suite de Cauchy dans B et si (φn(θ))n≥0 converge de façon compacte sur ] − ∞, 0], alors φ ∈ B et |φn − φ|β → 0 si n → ∞. La fonction u dans (A1) est parfois appelée une fonction admissible de B sur [σ, σ +a[. L’axiome (A1-ii) peut être réécrit comme suit : (A) (ii) 0 |φ(0)| ≤ H|φ|B, pour φ ∈ B. Remarquons que l’espace C00 des fonctions continues de ] − ∞, 0] dans X à support compact est inclus dans B [10]. Nous avons l’axiome suivant, qui implique que l’ensemble des fonctions continues bornées et inclus dans B, est similaire à celui de (A4) : (A5) Si une suite (φn(θ))n≥0 uniformément bornée de C00 converge de façon compacte sur ] − ∞, 0] vers φ, alors φ ∈ B et |φn − φ|B → 0 si n → ∞.