Estimation de Bayes d’une distribution de
Gamma-Lindley

Notion de probabilités statistiques

Espace probabiliste

On considËre un ensemble ( ; F; p) un espace probabilisé. L’ensemble est l’univers des possibles, il est non vide.F est une tribu, autrement dit c’est une partie de p( ) (un ensemble d’ensemble) qui est stable par passage au complémentaire et par union dénombrable. La probabilité est une application de F dans [0; 1] qui ‡ n’importe quel élément de l’ensemble des parties de associe sa probabilité d’occurrence. Elle vériÖe de plus p [ ] = 1 et la propriété d’additivité pour les ensembles disjoints. 18 1. Notion de probabilités statistiques 

Moments

L’espérance d’une variable désigne sa valeur espérée, on la note E[X]. Si x représente l’encours d’un contrat pour une année, alors son espérance représente l’encours moyen et on peut logiquement s’attendre ‡ ce que la prime chargée ‡ l’assuré soit proche de cette moyenne, c’est la raison pour laquelle on parle de ´ prime pure ª . La variance est déÖnie par : v [x] = E .

Les méthodes numériques

Méthode de Newton-Raphson Cette méthode est une approche itérative basée sur une approximation quadratique du développement en série de Taylor du logarithme de la densité a posteriori L () = ln  ( j y) o˘, cette densité peut ne pas ‘tre normalisée. Cette approximation quadratique de L () est, généralement, su¢ samment précise quand le nombre des observations est grand par rapport au nombre de paramËtres. La procédure de recherche du mode est alors la suivante : 1. choix d’une valeur initiale  (0) 2. pour k = 1; 2; ::: – calcul de L 0   (k

Lois de probabilités d’usage courant

Dans cette partie, nous présentons une liste des lois de probabilités les plus souvent utilisées dans les études ainsi que quelques unes de leurs propriétés (moyenne, variance,..etc). 

Loi Exponentielle

Une loi exponentielle modélise la durée de vie d’un phénomËne sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure. En d’autres termes, le fait que le phénomËne ait duré pendant t heures ne change rien ‡ son espérance de vie ‡ partir du temps t. Une variable aléatoire continue x suit une loi exponentielle de paramËtre (d’intensité ou inverse de l’échelle )   0 si elle admet pour densité de probabilité la fonction : 

Loi de Gamma 

Une variable aléatoire continue suit une loi Gamma, de paramËtres;  2 R  +, le premier est appelé paramËtre d’échelle alors que  est le paramËtre de forme, si elle admet pour densité de probabilité la fonction : fx (x) = ( 

 Loi log-normale 

La loi log-normale est aussi appelée loi de Galton. Une variable aléatoire continue x suit une loi log-normale quand son logarithme suit une loi normale c’est-‡-dire y = ln x suit une loi N (; ) o˘  = y et  = y donc de densité fx (x) = 1 xy p 2 exp  

Estimation de la prime Bayésienne de la distribution 

Gamma Lindley sous la fonction de perte quadratique et la fonction de perte Linex Dans ce chapitre, nous considérons la distribution Gamma Lindley (GaL) comme une distribution conditionnelle de X j ; , nous nous concentrons sur l’estimation de la prime Bayésienne sous la fonction de perte quadratique (symétrique) et la fonction de perte de Linex (asymétrique), avec des lois a priori informatives (type Gamma ). En raison de sa di¢ culté et de sa non-linéarité, nous utilisons l’approximation de Lindley pour estimer la prime Bayésienne. EnÖn, nous évaluons les estimateurs bayésiens sous les fonctions de perte cidessus, une simulation (Monte-Carlo) et des erreurs quadratiques moyennes sont données.

Estimations du maximum de vraisemblance (MLE)

1 La distribution de Gamma Lindley La distribution de Gamma Lindley a été publiée pour la premiËre fois dans la littérature ‡ partir de 2016 par Nedjar et Zeghdoudi. Cette distribution est basée sur des mélanges des distributions ordinaires Gamma (2; ) et Lindley (). Soit x une variable aléatoire suivant la distribution ‡ un paramËtre avec la fonction de densité

Dérivation des primes bayésiennes

Pour obtenir des estimateurs bayésiens, nous supposons que  et sont des variables aléatoires ‡ valeurs réelles avec une fonction de densité de probabilité  (; ). Rappelons que la distribution conditionnelle de X j ;  est la distribution GammaLindley et les distributions de  et sont supposées ‘tre connues dans cette partie.  ( j X Ø ) est la distribution ‡ postériori de  et compte tenu des données. Dans cette section, nous considérons l’estimateur de la prime bayésienne P B  en utilisant les fonctions de perte ‡ priori gamma. 40 3. Dérivation des primes bayésiennes 3.1 Estimateurs de la prime bayésienne sous la fonction de perte quadratique La fonction de perte quadratique désigne la punition en utilisant ^ pour estimer  est donné par L(;  ^ ) =  ^ .