ETUDE DU MÉLANGE À QUATRE ONDES MULTIPLE

Etat de l’art sur la modélisation du mélange à quatre ondes multiple

Le processus de MFWM est présent dès que plusieurs idlers sont générés à partir de deux ondes pompes de fréquences différentes. Le nombre d’idlers générés peut varier de deux, lorsqu’il s’agit d’un processus de MFWM à quatre ondes, à un très grand nombre d’ondes (sans limite supérieure). L’équation non linéaire de Schrödinger (ENLS), présentée au paragraphe 1.2.2, est un moyen efficace de décrire les processus de MFWM. En effet, à partir de la description du champ électrique A(0) en entrée de fibre (pouvant par exemple correspondre à la somme des amplitudes de plusieurs ondes pompe de fréquences différentes), la résolution numérique de l’ENLS permet de déterminer, en sortie de fibre de longueur L, le champ électrique A(L) ayant subi les effets combinés de la non-linéarité Kerr et de la dispersion. En raison des différents processus de FWM évoqués au chapitre 1, le champ A(L) peut contenir de nouvelles fréquences. L’analyse spectrale du champ électrique en sortie de fibre permet, par exemple, d’étudier le nombre d’idlers créés et de déterminer leur puissance et leur phase. L’ENLS a été utilisée avec succès pour l’étude de phénomènes non linéaires complexes où entrent en jeu, de manière explicite ou non, des processus de MFWM, tels que la génération de peignes de fréquences [48], [49], l’instabilité de modulation [50], [51], la récurrence de Fermi-Pasta-Ulam [52], [53] ou le soliton Peregrine [54], pour n’en citer que quelque-uns. Si l’ENLS est très puissante pour la description de phénomènes non linéaires dans les fibres, elle ne traite l’amplitude des ondes de fréquences différentes, que comme un seul champ électrique A. Il peut parfois s’avérer utile de décomposer le champ électrique en une somme de composantes spectrales discrètes et d’étudier la propagation de chaque composante individuellement sous l’influence des effets non linéaires. Dans l’étude de la modulation d’intensité en présence de MFWM par exemple, Armaroli et al. [55], [56] décomposent l’ENLS en quatre équations couplées (deux pour les pompes et deux pour les idlers) et retrouve le jeu d’équations (1.48)-(1.49), présenté au paragraphe 1.2.3.3. Si dans le cas d’un MFWM à quatre ondes, le jeu de quatre équations d’évolution est facile à déterminer, il n’en va pas de même lorsque le nombre d’ondes augmente, en raison de la difficulté à identifier tous les termes de FWM pouvant contribuer à des échanges d’énergie et de leurs désaccords de phase associés. De manière assez surprenante, nous n’avons pas trouvé, dans la littérature, de description claire permettant cette identification. En 1991, J. R. Thompson et R. Roy publient deux articles à propos du MFWM [13], [14]. Ils proposent une équation générale qui permet de déduire les équations couplées pour chaque onde. Les hypothèses utilisées par les auteurs sont les suivantes : deux ondes pompe de fréquence ω1 et ω2 vont générer deux idlers de premier ordre aux fréquences ω3 et ω4 de 36 2.1. Etat de l’art sur la modélisation du mélange à quatre ondes multiple part et d’autre des fréquences pompe, puis, par effet de FWM en cascade, deux idlers de deuxième ordre sont générés aux fréquences ω5 et ω6 de part et d’autre des fréquences ω3 et ω4 comme le montre la figure 2.1.

Etablissement d’une équation générale pour le mélange à quatre ondes multiple

Nous présentons dans cette partie la démarche que nous avons suivie pour établir une équation générale permettant d’identifier sytématiquement tous les termes de FWM, et leurs désaccords de phase associés, entrant en jeu dans un processus de MFWM impliquant un nombre quelconque N d’ondes.

Equations d’évolution

Nous considérons une fibre monomode de longueur L avec une atténuation α et un coefficient non linéaire Kerr γ. Rappelons que la constante de propagation β(ω) du mode fondamental peut être décomposée en série de Taylor autour d’une fréquence ω0 de la manière suivante β(ω) = β0 + + X∞ k=1 1 k! βk(ω − ω0) k , (2.6) où β0 est la valeur de la constante de propagation en ω0 et βk est le k ème ordre de la constante de propagation en ω0. Comme nous l’avons déjà vu, β1 est l’inverse de la vitesse de groupe et les paramètres β2, β3, β4, etc. sont les coefficients du développement de la dispersion de vitesse de groupe. Considérons maintenant une onde de fréquence centrale ω0, polarisée arbitrairement, se propageant dans la fibre. Son champ électrique s’exprime de la manière suivante E(z, t) = 1 2 u h A(z, t)e i(β0z−ω0t) + c.c.i , (2.7) où u est un vecteur unitaire dans le plan transverse de la fibre, A(z, t) est l’amplitude complexe lentement variable du champ électrique, t est le temps, z la coordonnée longitudinale le long de la fibre. Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, l’évolution de A(z, t), sous l’influence simultanée des pertes de la fibre, de la dispersion et de l’effet Kerr, peut  à quatre ondes multiple être décrite par l’équation non linéaire de Schrödinger (ENLS) [7] donnée par ∂A ∂z − + X∞ k=1 i k+1βk k! ∂ kA ∂tk + α 2 A = iγ|A| 2A. (2.8) Cette équation est similaire à l’équation (1.24) que nous avons présentée au chapitre 1 à ceci près que nous n’avons pas tronqué ici le développement de la constante de propagation pour plus de généralité. A partir de cette équation, nous allons maintenant établir les N équations d’évolution d’un processus de FWM impliquant N ondes. Nous considérons N ondes de fréquences ω1, …, ωN , se propageant dans la fibre. Ces ondes sont espacées deux à deux du même écart fréquentiel ∆ω. Elles peuvent représenter indifféremment des ondes pompe, signal ou idler dans un processus de MFWM. La figure 2.2 représente schématiquement l’emplacement de ces ondes dans le domaine fréquentiel. La fréquence centrale ω0 est choisie au centre du peigne, comme l’indique la figure 2.2. Sur cette figure le cas particulier d’un nombre N pair est représenté si bien que la fréquence centrale ω0 se situe entre deux fréquences du peigne. Si N était impair, la fréquence centrale ω0 coïnciderait avec la fréquence centrale du peigne de fréquences. D’après la figure 2.2, n’importe quelle fréquence ωj du peigne peut s’exprimer en fonction de ω0 et ∆ω de la manière suivante ωj = ω0 +  j − N + 1 2  ∆ω. (2.9) Notons que cette relation est valable quel que soit N (pair ou impair). Signalons également que si l’on choisit que les fréquences sont croissantes en fonction de l’indice j, ceci implique que ∆ω est positif.