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Etude d’un probleme de Convection-di usion non lineaire avec condition de Neumann
Introduction et Resultats Principaux
On propose dans ce chapitre une etude d’une equation de convection-di usion non lineaire avec la condition de Neumann nulle sur le bord. Soit un ouvert borne connexe de RN (N = 2 ou 3), a frontiere lipschitzienne, on cherche une fonction u : ! R veri ant :
8 u + div(W ’(u)) = 0 dans ;
> u n + W ’(u) n = 0 sur @ ;
> ! !
> (2.1)
> u(x)dx = M;
ou W est donne sur ; @n@u designe la derivee normale exterieure de u; c’est a dire
@u r ! !
@n = u n ou n = (n1; n2; :::nN ) est le vecteur unitaire de la normale exterieure a
@ ; et W ’(u)!n = Pi=N ’(u)Wi!ni ou W = (W1; W2; :::; WN ) 2 (Lp( ))N ; pour
i=1
tout p > N, la quantite u!n + W ’(u)!n s’appelle la condition de Neumann.
Le but de ce chapitre est de montrer l’existence, l’unicite de la solution faible au probleme (2.1), et sa positivite. Cette equation est non lineaire a cause du terme de convection.Sous l’hypothese W 2 (Lp( ))N pour tout p > N, la formulation faible de ce probleme est 8
>u 2 H1( );(2.2)
Z Z
> ru(x)rv(x)dx ’(u(x))W (x)rv(x)dx = 0; 8v 2 H1( ):
Pour ’ une fonction lipschitzienne de R dans R telle que ’(0) = 0, i.e il existe une
constante L > 0 telle que
j’(s1) ’(s2)j Ljs1 s2j; 8s1; s2 2 R
Nous donnous le resultat suivant :
Lemme 2.1 Soit u 2 H1( ) et W 2 (Lp( ))N , pour tout p > N.
Alors on a
’(u)W 2 (L2( ))N :
Preuve 2.1
Le theoreme d’injection de Sobolev, donne u 2 L6( ), si N = 3 et que u 2 Lr( ); pour tout r 2 [1; 1[; si N = 2. Comme ’ est une fonction lipschitzienne. On deduit aussi que ’(u) 2 L6( ), si N = 3 et ’(u) 2 Lr( ) pour tout r 2 [1; 1[ si N = 2.
Pour N = 3, on a W 2 (L3( ))3 et ’(u) 2 L6( ), on obtient alors W ’(u) 2
(L2( ))3
2p
Pour N = 2, on a W 2 (Lp( ))2 et ’(u) 2 Lp 2 ( ), on obtient alors W ’(u) 2
(L2( ))2
Montrons a present L’equivalence des normes, kukW 1;1( ) et kjrujkL1( ) pour tout u 2 W!.
Lemme 2.2 Soit un ouvert borne connexe de RN (N 1) a frontiere lip-schitzienne. Soit ! un ensemble mesurable de mesure de Lebesgue positive.
De nissons l’ensemble W! par : W! = fu 2 W 1;1( ) telle que u = 0 p.p. dans !g:
Alors il existe C ne depond que de et ! tel que
kukLp( ) CkjrujkL1( ) pour tout u 2 W! et 1 p N : (2.3)
N 1
Preuve 2.2
On veut demontrer 2.3 pour p = 1? = N=(N est connu qu’il existe Cs ne depond que de :
1). D’apres l’injection de Sobolev, il tel que kukL1? ( ) CskukW 1;1( ) pour tout u 2 W 1;1( ):
Pour montrer que kukW 1;1( ) est equivalente a kjrujkL1( ), pour tout u 2 W!, il su t donc de montrer qu’il existe C2 ne depend que de et ! tel que kukL1( ) C2kjrujkL1( ) pour tout u 2 W!: (2.4)
Pour montrer 2.4, on raisonne par l’absurde. On suppose qu’il existe une suite d’elements de W!, (un)n2N tel que
kunkL1( ) > nkjrunjkL1( ) pour tout n 2 N :
En remplacant un par un=kunkL1( ), on peut supposer kunkL1( ) = 1. On a alors aussi kjrunjkL1( ) < n1 . ce qui prouve que la suite (un)n2N est bornee dans W 1;1( ), Par le theoreme de compacite ( le theoreme de Rellich) on en deduit que la suite un est relativement compate dans L1( ). Donc, on peut supposer (apres extraction
d’une sous suite) qu’il existe u 2 L1( ) telle que un ! u dans L1( ) quand n ! 1.
Comme kunkL1( ) = 1 on a aussi kukL1( ) = 1. Or de kjrunjkL1( ) < n1 on deduit run ! 0 dans L1( )N , on a donc ru = 0 p.p. dans ( connexe), u est alors une fonction constante. Comme un ! u dans W 1;1( ) et un 2 W! pour tout n 2 N on a aussi u 2 Ww et donc u = 0 p.p. dans ! . On en deduit que u = 0 p.p dans . Ce qui est impossible car kukL1( ) = 1. ce qui conclut la preuve de Lemme 2.2 Nous donnons un resultat d’existence et d’unicite.
Theoreme 2.1 Soit un ouvert borne connexe de RN (N = 2 ou 3) a frontiere lipschitzienne. Soit p > N, W 2 Lp( )N et M 0. Alors, il existe une unique
solution du probleme 2.2, avec la condition u(x)dx = M. La preuve de ce theoreme est divisee en 3 etapes.
Unicite et positivite de la solution
Commencons a prouver que toute solution de 2.2 a un signe constant.Lemme 2.3 Sous les m^emes hypotheses que le theoreme 2.1, le probleme 2.2 admet une solution unique,et positive.
Preuve 2.3
Z
Soit u la solution de 2.2 avec u(x)dx = M. Pour demontrer que u > 0 p.p. si
33
M > 0, on raisonne par l’absurde. Notons = fx 2 : u(x) 0g et on suppose
que lN ( ) > 0.
Pour n 2 N , considerons la fonction de troncature Tn de ne de R dans R par
Tn(s) = minfn1 ; maxfs; 0gg. On sait par le theoreme de Stampacchia que Tn(u) 2
H1( ) pour toute fonction u 2 H1( ) et
rTn(u) = 10<u< n1 ru p.p. dans :
On peut prendre cette fonction comme fonction-test v = Tn(u) dans 2.2 et obtenir
Z Z
jrTn(u)j2dx = ’(u)W rTn(u)dx;
soit encore, en posant An = fx 2 : 0 1
< u(x) < n g
1
alors Z
Z n n
jruj2dx = ’(u)W rudx;
A 1 A 1
en appliquant l’inegalit de Cauchy Schwarz, et ’ lipschitzienne on obtient donc :
Z an Z 1
2
jruj2dx L jruj2dx ;
n
A 1 A 1
n n
avec Z
1
an = W 2dx 2 ;
0<u< 1 j j
n
ou encore
krTn(u)kL2( ) Lann ;
comme H1( ) W 1;1( ) on a Tn(u) 2 H1( ) W 1;1( ) .
On peut voir que An+1 An et Tn2N An = ;, donc lN (An ) = 0, lorsque n ! 1
1 1 1 1
(par continuite decroissante d’une mesure). Comme W 2 L2( )N on en deduit que limn!1 an = 0. Utilisant le fait que kzkL1( ) kzkL2( )lN ( )1=2, on obtient
krTn(u)kL1( ) krTn(u)kL2( )lN ( )1=2 Lann lN ( )1=2:
Remarquons d’abord que Tn(u) = 0 p.p. sur . Si lN ( ) > 0, le lemme 2.2 donne l’existence de C, ne dependant que de et ! tel que
kTn(u)kL1( ) CkrTn(u)kL1( ):
En remarquant que Tn(u)dx ZBn
kTn(u)kL ( ) = Z ndx nlN (B n );
1 1
1 1
ou Bn = fx 2 1
; u(x) n g
1
Bn et S n = fu > 0g, donc limn!+1 lN (B n ) = lN fu > 0g,
on a aussi Bn+1 n2N B
1 1 1 1
(par continuite croissante d’une mesure), comme
lN (B 1 ) LCanlN ( )1=2:
n
en passant a la limite lorsque n tend vers +1, on obtient lN (fu > 0g) = 0, c.a.d
u 0 p.p..
35
Z
Si M > 0, il est impossible d’avoir u(x)dx = M > 0. Alors, on conclut que
lN ( ) = 0, qui donne u > 0 p.p. dans .
Z
Si M = 0, on a udx = M = 0, et alors d’apres u 0 p.p. on conclut que u = 0 p.p. dans .
Z
Maintenant il est facile de demontrer l’unicite de la solution de 2.2 avec udx =
Z Z
M. Soit u1 et u2 deux solutions de 2.2 avec u1dx = u2dx = M. On pose
Z
u = u1 u2. Alors, udx = 0 qui donne u = 0 p.p., qui est le resultat de l’unicite
desir
Table des matières
1 Preliminaires
1.1 Rappels et complement d’analyse
1.1.1 Espaces Lp
1.1.2 Espaces de Sobolev
1.2 Degre topologique
1.2.1 Degre de Brouwer et proprietes
1.2.2 Degre de Leray-Schauder et proprietes .
2 Etude d’un probleme de Convection-diusion non lineaire avec condition de Neumann
2.1 Introduction et Resultats Principaux
2.2 Unicite et positivite de la solution
2.3 Estimation a priori
2.4 Existence
3 Resultats d’existence de solutions d’un systeme elliptique semi-lineaire en etat de resonnance
3.1 Introduction et resultats principaux
3.2 Premier cas
3.2.1 Estimation a priori des solutions
3.3 Deuxieme cas
3.3.1 Estimation a priori des solutions
3.4 Demonstration du resultat principal
Conclusion et Perspectives
Liste des symboles
Bibliographie
