Etude en champ proche

Optique de champ proche

Limite de résolution La résolution spatiale définit les performances d’imagerie d’un système optique comme les microscopes ou les télescopes pour résoudre les détails fins d’un objet. La limite de résolution observée en instrumentation optique a été décrite théoriquement par Ernst Abbe dès 1873 [44]. En raison du phénomène de diffraction, l’image d’un point à travers un système optique n’est pas un point mais une tache circulaire dite tache d’Airy. Cette dernière définit la réponse impulsionnelle du système optique aussi appelée figure d’étalement de point (PSF pour point spread function en Anglais). FIGURE II.1 – Diffraction d’une onde plane propagative par une ouverture circulaire. En instrumentation optique, les ouvertures telles que les objectifs sont généralement circulaires. Considérons donc une ouverture circulaire de rayon a, éclairée par une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ, d’intensité I0, se propageant dans la direction de l’axe z dans un milieu d’indice n (Fig. II.1). Le vecteur d’onde de cette onde est k = 2πn λ zˆ où zˆ est le vecteur unitaire dirigé selon z. La fonction de transmission de l’ouverture s’écrit : T(x, y) = ( 1 si p x 2 + y 2 ≤ a 0 sinon (II.1) Dans le cas de la diffraction de Fraunhofer, valide en champ lointain, l’intensité de l’onde incidente diffractée par l’ouverture circulaire sur un écran à la distance d de celle-ci fait intervenir la fonction de Bessel J1 d’ordre 1 :  I(x, y) = I0  2J1(Z) Z 2 (II.2) avec Z = πap x 2 + y 2/λd. L’expression II.2 correspond à l’intensité de la tache d’Airy, celle-ci comporte une tache centrale lumineuse intense entourée d’anneaux concentriques qui alternent entre brillants et sombres. Le diamètre du premier anneau sombre ΦAiry est donné par : ΦAiry = 1, 22λd na (II.3) Lorsque l’on cherche à faire l’image de deux points séparés d’une distance r, cette distance doit être suffisamment grande pour séparer les taches d’Airy respectives des deux points et les distinguer. En 1879, Rayleigh a introduit un critère permettant d’estimer le pouvoir de résolution d’un système optique [45]. Il énonce que deux pics d’intensité sont séparables si l’annulation du premier pic correspond au maximum du second. En introduisant l’ouverture numérique du système optique ON = n sin θ, θ étant le demi-angle d’ouverture du système optique, le critère de Rayleigh s’écrit : ∆r = 1, 22λ 2ON (II.4) La figure II.2 illustre les différents cas possibles. En-dessous de la distance de séparation définie par le critère de Rayleigh, les pics d’intensité de chaque point ne sont plus discernables. Dans le cadre de ces travaux, nous travaillons dans l’espace libre autour de la longueur d’onde λ = 10 µm dans la gamme spectrale correspondant à l’infrarouge moyen. L’objectif de microscope utilisé a pour ouverture numérique ON = 0,5. Une application numérique du critère de Rayleigh dans ces conditions expérimentales donne une résolution spatiale maximale de 12,2 µm.

Ondes évanescentes Réflexion totale frustrée

FIGURE II.3 – Réflexion totale frustrée avec deux prismes. La découverte des ondes évanescentes est attribuée à Newton pour son expérience mettant en jeu le phénomène de la réflexion totale frustrée (Fig. II.3) [46]. En éclairant un prisme par un faisceau de lumière blanche dont l’incidence correspond à l’angle de réflexion totale et en posant une lentille de même indice que le prisme sur la face de celui-ci où se produit la réflexion, une partie de l’énergie, celle qui est portée par le champ évanescent, est transmise par la lentille. La réflexion totale est dite « frustrée ». Équation de propagation d’onde Décrivons à présent le formalisme séparant les ondes évanescentes des ondes propagatives [47, 48]. Considérons une onde monochromatique provenant d’un objet quelconque situé en (x, y, z) = (0, 0, 0) et se propageant dans le vide dans la direction z (Fig. II.4). Le champ électrique E associé à cette onde est considéré connu en z = 0 et nous nous intéressons à son expression pour z > 0. Nous avons avec l’équation de propagation d’Helmholtz : FIGURE II.4 – Propagation d’une onde provenant d’un objet quelconque. ∆E(x, y, z) + ω 2 c 2 E(x, y, z) = 0 (II.5) En passant dans l’espace de Fourier et en introduisant E˜(α, β, z) la transformée de Fourier du champ par rapport à x et y avec α et β les fréquences spatiales associées à x et y respectivement, nous obtenons : ∂ 2 ∂z2 E˜(α, β, z) + ω 2 c 2 − α 2 − β 2 ! E˜(α, β, z) = 0 (II.6) Nous distinguons deux cas selon le signe du terme entre parenthèses. Posons : γ =    q ω2 c 2 − α2 − β 2 si ω 2 c 2 ≥ α 2 + β 2 i q α2 + β 2 − ω2 c 2 si ω 2 c 2 ≤ α 2 + β 2 (II.7) Sachant que nous nous intéressons à la propagation des ondes pour z > 0 et que le champ en (x, y, z) = (0, 0, 0) est considéré connu, nous obtenons la forme suivante de solution à l’équation différentielle de second ordre II.6 : E˜(α, β, z) = E˜(α, β, 0) exp(iγz) (II.8) Dans l’espace direct, l’expression du champ est : E(x, y, z) = Z Z E˜(α, β, 0) exp[i(αx + βy + γz)]dα 2π dβ 2π (II.9) Cette expression montre que le champ s’exprime comme une superposition d’ondes planes. À un couple (α, β) correspond une onde plane dont la propagation dépend de la valeur de γ. — 1 er cas : γ réel ⇔ ω/c ≥ p α2 + β 2 Ce cas correspond aux basses fréquences spatiales. Les ondes associées sont dites propagatives, il n’y a pas d’atténuation dans le vide. — 2 nd cas : γ imaginaire pur ⇔ ω/c ≤ p α2 + β 2  Ce cas correspond aux fréquences spatiales élevées et donc aux détails fins du champ dans le plan objet. Les ondes associées sont dites évanescentes en raison du terme d’atténuation exp(−γz) dans la direction perpendiculaire à la surface de l’échantillon. Dans ces deux cas, nous constatons que la propagation a un rôle de filtre passe-bas dont la pulsation de coupure est ω/c = 2π/λ. Au-delà de cette coupure, le front d’onde est davantage lissé du fait de la perte des fréquences spatiales élevées comme l’illustre la figure II.5. En conséquence, une délimitation existe entre deux zones à zlim = λ/2π : celle du champ lointain et celle du champ proche