Étude numérique du remplissage 3D en fonderie

Cas tests de validation de la résolution du problème de Navier-Stokes instationnaire avec suivi de la surface libre

Le jet de M.Schmid and F.Klein 

Comparaison avec l’expérience Le cas test que nous présentons ici, est le cas du remplissage à forte pression d’ une plaque posée à plat (Figure 28). Ce type de remplissage est courant en fonderie. Le fluide considéré a les propriétés physiques de l’ eau, et est injecté à débit constant : à une vitesse de 8,6[m/s]. Le canal d’ alimentation a une largeur de 0,045[m], la longueur de la plaque est de 0,15[m] sa largeur de 0,1[m], et son épaisseur de 0,002[m]. On choisit un pas de temps de 5 10 [s] −5 × , ce qui nous permet de capter une échelle de longueur de 8 6 5 10 0 43 10 [m] −5 −3 dl = U × dt = , × × = , × . Notons que la taille du plus petit élément du maillage est de l’ ordre du millimètre. Rappelons l’ expression du nombre de Reynolds d’ un écoulement : vis cosité UL Re inertie = = η ρ . Le nombre de Reynolds estimé pour cette expérience par [Schmid et al, 1995] est de 6 1,29×10 , avec 10 et L 0,15[m] 6 = ;U = 8,6 = η ρ . Un tel nombre de Reynolds implique un écoulement turbulent, or notre modèle ne nous permet pas d’ atteindre la turbulence. On suit la stratégie introduite en [ II.5 ] qui consiste à prendre en compte une viscosité numérique supérieure à la viscosité du fluide. On choisit comme donnée pour notre simulation : = 200 η ρ , la viscosité dynamique prise à la place de celle de l’ eau étant de 5 [Pa.s] (au lieu de 10 -3 [Pa.s]). Des conditions de symétrie sont imposées sur tous les plans droits de la pièce. Figure 27 : comparatif entre l’expérience et la simulation, remplissage en forte pression. Figure 28 : Description de l’ expérience : vue du dessus Comparons l’ écoulement réel (Figure 27 au centre), et l’ écoulement simulé avec Rem3D ® (Figure 27 ). De manière à visionner l’ importance de la diffusion numérique, on a représenté les isovaleurs de la fonction caractéristique à l’ aide de trois couleurs. La partie bleue clair représente les valeurs de plus de 0,6 à 1, et la partie bleue foncée, la partie d’ incertitude entre 0,6 et 0,4, ce qui est une marge relativement importante. De plus, l’ image Figure 29, permet de visionner l’ ensemble des isovaleurs de la fonction caractéristique du fluide, à un temps donné. Elle montre que la zone de diffusion est peu étendue à cet instant du remplissage. Elle est néanmoins plus importante dans les zones où l’ adaptation injection Chapitre II Résolution du problème de Navier-Stokes instationnaire à surface libre 66 de maillage n’ est pas utilisée (ici le plan inférieur). D’ une manière générale, on constate que la diffusion numérique est assez faible, ce qui est obtenu grâce au module d’ adaptation de maillage. Mais surtout, on obtient une forme d’ écoulement très proche de la réalité, aux mêmes temps(à 5ms près). On peut cependant noter que le fluide reste collé à la paroi, bien que cela ne perturbe pas le déroulement du remplissage. Notamment la description du jet en entrée et correcte tout au long de ce dernier. Figure 29 : Ensemble des isovaleurs de la fonctions carctéristique –t=33,6 [ms]

Illustration de l’influence de l’adaptation de maillage

Les Figure 30 et la Figure 31 illustrent l’ influence de l’ adaptation de maillage sur la précision des résultats obtenus. On utilise les mêmes données que précédemment pour la simulation. Deux maillages uniformes sont utilisés, le premier relativement fin, Figure 30 et le second très grossier Figure 31. Avec chacun de ces maillages, on procède à deux simulations, la première avec, et la seconde sans adaptation de maillage. Notons que l’ utilisation du module d’ adaptation de maillage entraîne une légère augmentation du temps de calcul. Celle-ci est inférieure à 10% du temps de calcul total. On a placé entre les deux résultats obtenus pour chacun des maillages, les photographies tirées de l’ expérience de M.Schmid et F.Klein. La représentation des iso surfaces de la fonction caractéristique a été tronquée de la même manière que précédemment. On observe que lorsque le maillage est fin, Figure 30, l’ utilisation de l’ adaptation de maillage (à droite), permet de réduire l’ imprécision due à la formulation de manière notable. Toutefois, les résultats obtenus, avec et sans adaptation de maillage, sont tous les deux proches de l’ expérience. Par contre, la Figure 31 montre clairement que pour un même maillage grossier, les résultats obtenus en utilisant l’ adaptation de maillage, bien qu’ imprécis, restent proches de la réalité, ce qui n’ est pas du tout le cas sans adaptation. Zone de diffusion numérique; due au fait que le maillage n’ est pas adapté sur la frontière inférieure .

Conclusions

Ce cas test nous permet de valider la résolution du problème de Navier-Stokes avec suivi de la surface libre dans un cas extrême. L’ obtention d’ écoulements réalistes constitue également une première validation de la démarche qui est de prendre en compte une viscosité « numérique » plus élevée que la viscosité « réelle ». De plus, nous avons souligné l’ efficacité de la méthode d’ adaptation de maillage qui permet notamment d’ utiliser des maillages plus grossiers. 

L’ écroulement du barrage

Etude de l’écroulement d’une colonne d’eau sur un plan horizontal rigide : étude de la surface libre – J.C. Martin and W. J. Moyce.

Introduction et description de l’ expérience

Les résultats de cette expérience sont très souvent utilisés pour valider les modèles d’ étude des écoulements instationnaires très peu visqueux à surface libre. La géométrie du test permet la validation des modèles en 2D, mais étant réellement 3D, elle nous permettra de tester les deux cas de figure : approche 2D et 3D. Nous ne citerons pas ici les nombreuses références aux résultats de cette expérience, en choisissant de nous reporter directement aux données source [Martin et Moyce, 1952]. On considère une colonne d’ eau au repos, retenue par une membrane de papier ciré (imperméable) extrêmement fin, dans un réservoir parallélépipédique en matière plastique transparente (Figure 32). Cette membrane est maintenue par un film de cire à une bande métallique du réservoir. Elle est libérée au moyen d’ un courant électrique de haute intensité : lorsque le courant circule, la cire fond, et la colonne s’ écroule dans un canal d’ Altuglas. Le milieu ambiant est de l’ air. La Figure 34, illustre une partie des résultats obtenus par la méthode expérimentale. Dans cette figure, les deux courbes en pointillés (marquées par des ronds et bleues) sont issues de l’ écroulement d’ une colonne d’ eau aussi large que haute (n 2 =1) alors que les courbes tracées en continues (étoilées et rouges) illustrent l’ écroulement d’ une colonne deux fois plus haute que large (n 2 =2). On constate que le rapport entre la hauteur et la largeur de la colonne a une influence notable sur la vitesse d’ avancée du front de matière. Lorsque le paramètre « a » est multiplié par deux, on multiplie l’ échelle de la colonne par deux (la hauteur et la largeur). Dans ce cas de figure, les résultats, même s’ ils sont semblables au début de l’ écroulement, divergent sensiblement par la suite. De nombreux auteurs comme [Maronnier, 2000] [Anagnostopoulos et al, 1999] [Gaston, 1997], choisissent de simuler l’ écroulement d’ une colonne a n 2 a z h Chapitre II Résolution du problème de Navier-Stokes instationnaire à surface libre 70 deux fois plus haute que large, en comparant (apparemment) leurs résultats avec les courbes continues données Figure 34. D’ une manière générale, les comparaisons fournies par les auteurs ne donnent pas de résultat au delà d’ un temps adimensionné de T=5. Ce temps correspond à la séparation entre les deux courbes expérimentales tracées en continu (n 2 =2), et en particulier à l’ arrêt de l’ une d’ elles. Ces observations nous ont conduit, dans un premier temps, à utiliser les dimensions exactes du plan d’ expérience pour notre simulation : a = 0,05715 [m]. D’ une manière générale, dans la suite, on donnera les résultats de trois simulations : la première pour une colonne à l’ échelle du centimètre (d’ après les dimensions du plan d’ expérience) en 2D, la seconde de l’ ordre du mètre, toujours en 2D, et la troisième de l’ ordre du centimètre en 3D.

Remarques sur le post-traitement des résultats issus de la simulation REM3D ®

Mesure de la position de la surface libre Nous avons effectué les mesures (de Z et H) à l’ aide du logiciel de visualisation Glview ® . On définit une ligne (Figure 35), qui détermine les nœ uds pour lesquels le logiciel trace les valeurs de la fonction choisie : ici, la valeur de la fonction caractéristique. La Figure 37 illustre, pour un temps donné, l’ évolution de la fonction caractéristique le long de la droite définie (Figure 35): en abscisse on a une position sur la droite, et en ordonnée, la valeur de la fonction caractéristique correspondante On trace ces valeurs au cours du temps (Figure 36) pour l’ intervalle de valeur [0,4, 0,6]. En général, la valeur 0,5 est utilisée pour déterminer la position du front de matière. Plus les courbes sont « penchées », plus l’ écart entre la position des isovaleurs 0,4 et 0,6 est important, et par conséquent, plus il y a d’ imprécision sur la positions du front de matière, c’ est à dire de diffusion numérique. Ainsi, sur la Figure 36, on voit que cette diffusion augmente lors de l’ écroulement de la colonne Estimation de l’erreur sur la mesure Mesures de l’erreur de lecture sur le Benchmark à l’échelle du centimètre Dans ce cas, a = 0,05715 [m]. On majore l’ erreur sur la lecture en la considérant de 0,001 [m]. De plus, dans les maillages utilisés, le diamètre moyen, ou encore la taille des éléments, est de 0,006[m] (le diamètre minimal est de 0,001[m]). L’ erreur due à l’ interpolation est majorée par 0,003[m] car la valeur des fonctions caractéristique est constante par élément. Par conséquent, on peut considérer une erreur de mesure des résultats de e=0,004[m]. La valeur adimensionnelle de e est : E = 0 07 0 05715 0 0004 , , , a e = = qui est pratiquement invisible. Mesures de l’erreur de lecture sur le Benchmark à l’échelle du mètre Dans ce cas, la valeur de a = 0,5 [m], et le diamètre moyen de 0,0047[m]. Par conséquent, 0 046 0 5 0 0047 , , , a e E = = = qui est également négligeable dans les comparaisons qui seront effectuées par la suite. II.6.2.1.3 Etude de l’ écroulement d’ une colonne ayant les dimensions du plan expérimental : expérience 2D. Les données de la simulation On choisit une colonne d’ eau ayant les mêmes dimensions que dans l’ expérience en laboratoire, soit a = 2,25[in]=0.05715[m] et n 2 =2. Autrement dit, la colonne d’ eau à une hauteur initiale de 11,43[cm] et sa base est de 5,715[cm] (Figure 38). Le maillage : Nombre d’ éléments = 28251 Nombre de nœ uds = 6966 Diamètre minimal (hmin) = 0,001[m].