Etude théorique d’une photopile bifaciale en régime dynamique fréquentiel

Equation de continuité et densité des porteurs minoritaires 

Description d’une photopile bifaciale au silicium Une photopile bifaciale au silicium de type n+ -p-p+ [8] dont la structure est présentée à la figure II.1 : Figure II.1 : Photopile bifaciale à une dimension B représente le champ magnétique appliqué à la photopile. Cette photopile comprend quatre parties essentielles : – l’émetteur de type (n+ ) : l’épaisseur est faible (0.5 à 1µm), elle est fortement dopée en atomes donneurs (1017 à 1019 cm-3) et recouverte d’une grille métallique qui permet de collecter les charges électriques photocrées. – La zone de charge d’espace : cette zone est caractérisée par un champ électrique intense qui sépare les paires électron-trou qui arrivent à la jonction. – La base de type (p) : elle est de grande dimension (300 à 400 µm) et peu dopée en atomes accepteurs (1015 à 1017 cm-3). C’est la zone de prédominance des phénomènes de génération, diffusion et recombinaison. – Le BSF (back surface Field) : c’est la zone située en face arrière de la base, surdopée en atomes accepteurs (p+ ) (1017 à 1019 cm-3) par rapport à la base et crée un champ électrique arrière qui renvoie vers la jonction les porteurs minoritaires photocrées près de la face arrière. Dans le cadre de notre étude, nous ferons les approximations suivantes : • la contribution de l’émetteur au photocourant sera négligée par rapport à celle de la base [8]. • le champ cristallin sera négligé au niveau de la base de la photopile, seule le champ électrique à la jonction sera pris en compte [9]. • On va utiliser un modèle mathématique unidimensionnel, la jonction de la photopile sera prise comme origine (x=0).

Equation de continuité

L’équation de continuité des porteurs minoritaires de charge dans la base en régime dynamique fréquentiel est de la forme: 2 (,) (,) (,) (,) 2 xt xt x t D G xt n t x δ δ δ α α α τ α ∂ ∂ ∗ ⋅ − =− + ∂ ∂ (II-1) Où • .δ (,) x t α est la densité des électrons génères dans la base • G xt (,) α est le taux de génération en lumière blanche des porteurs de charge en excès en fonction de la profondeur de la base et de la fréquence de modulation • D n ∗ est le coefficient de diffusion • τ est la durée de vie moyenne des porteurs minoritaires de charge La solution de l’équation de continuité s’écrit sous la forme suivante [10, 11, 12] : (,) () i t xt x e ω δ δ α α = ⋅ (II-2) Où ( )z α δ la composante spatiale du taux de génération et i t e ω la composante temporelle. L’expression du taux de génération en lumière blanche des porteurs minoritaires de charge s’écrit [10,12, 13,14] : (,) () G xt g x ei t ω α α = ⋅ (II-3) 15 Où zg )( α la composante spatiale du taux de génération et i t e ω la composante temporelle. 3 ( ) ( ) 1 bx b Hx k k gx n a e e k k ε γ α   −⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ +⋅ ∑   =   (II-4) Les termes a k et b k sont des coefficients tabulés à l’éclairement solaire sous AM 1,5. n étant le nombre de soleil, il traduit le niveau d’éclairement de la photopile. Le nombre de soleil est obtenu en faisant le rapport entre la puissance incidente réelle et la puissance de référence pour un spectre lumineux donne. Le tableau ci-dessous nous donne les valeurs de a k et b k sous AM 1,5. Tableau II.1 : valeurs tabulés du rayonnement solaire sous AM=1,5 a k (cm-3 .s-1 ) b k (cm-1 ) 6,13.1020 6630 0,54.1020 1000 0,0991.1020 130 H est la profondeur de la base α, ε et γ paramètres définis à partir du mode d’éclairement comme indiqué au tableau ciaprès : Tableau II.2 : valeurs des paramètres α, ε et γ pour les différents modes d’éclairements de l a photopile Mode d’éclairement α ε γ Face avant 1 1 0 Face arrière 2 0 1 Simultané 3 1 1 En remplaçant les expressions (II-2) et (II-3) dans l’expression (II-1) on obtient une nouvelle équation de continuité : 2 2 ( ) ( ) 1 (1 ) ( ) 2 x g x i x x L D n n δ α α ωτ δ α   ∂   − + ⋅ ⋅ ⋅ =−   ∗ ∗ ∂     (II-5) 16 ( ) 2 2 1 L i (1 ) c L n ω τ   − ∗   = +⋅ ⋅   ∗     (II-6) avec • L n ∗ est la longueur de diffusion en fonction de la fréquence de modulation et de l’intensité du champ magnétique appliqué • L c ∗ est la longueur de diffusion complexe en fonction de la fréquence de modulation et de l’intensité du champ magnétique appliqué II- 1-3 Solution de l’équation de continuité et conditions aux limites La résolution de l’équation (II-5) donne la distribution de la densité de porteurs minoritaires en excès en fonction de la profondeur de la base, de la fréquence de modulation et de l’intensité du champ magnétique. La densité des porteurs minoritaire est par l’expression (II-7) : cosh sinh ( , , ,) 3 ( ) 1 x x A C L L x B c c bx b Hx k k e e k k α α δ ω α βε γ         ⋅ +⋅ ∗ ∗ =     −⋅ −⋅ − − ⋅ +⋅ ∑     =   (II-7) avec ( ) ( ) 2 2 2 (,) 1 nL a c k k DB L b c k β ω ∗ ⋅ ⋅ =   ∗ ⋅  ⋅ −   Où les constantes A α et C α sont déterminées par les conditions aux limites suivantes : • A la jonction ( x = 0 ) : ( ) (, , ) (, , ) 0 x B D Sf x B n x x x o δ ω α δ ω α α   ∂ ∗ ⋅ =   ⋅ ∂ =   = (II-8) 17 • A la face arrière ( x H= ): ( ) (, , ) (, , ) x B D Sb x B n x x H x H δ ω α δ ω α α   ∂ ∗ ⋅  =− ⋅ ∂ =   = (II-9) où • Sfα est la vitesse de recombinaison à la jonction de la photopile • Sb αest la vitesse de recombinaison en face arrière de la photopile • H est l’épaisseur de la base de la photopile Connaissant l’expression de l a densité de porteur minoritaire, nous pouvons déterminer respectivement la densité du photocourant en utilisant la loi de FICK et la phototension en utilisant la relation de BOLTZMANN.