FORMULATION VARIATIONNELLE DE LA CONSOLIDATION AVEC
SURFACE LIBRE

INTRODUCTION

Ce chapitre est consacré au développement de l’approche proposée dans les paragraphes précédents pour le traitement de la consolidation des sols argileux. La première partie du chapitre présente les bases théoriques de calcul, qui a nécessite la réécriture de l’équation de conservation de la masse d’eau pour un élément de sol, ainsi que la généralisation de l’équation relative au comportement mécanique. La deuxième partie du chapitre décrit la formulation numérique du calcul pour le cas d’un comportement non-linéaire du sol.

DEVELOPPEMENT DE L’APPROCHE POUR LE TRAITEMENT DE LA CONSOLIDATION

L’approche proposée ici pour le traitement de la consolidation vise à préserver la continuité du comportement hydraulique et mécanique entre les zones saturées et nonsaturées du massif. Du point de vue hydraulique, cette approche est basée sur les principes de l’écoulement monophasique de Richards. Sur le plan mécanique, elle repose sur la généralisation de la notion de contrainte effective proposée par Bishop, celle-ci permet d’exprimer l’influence de la désaturation sur le comportement mécanique du sol, en passant d’une façon continue du domaine saturé aux parties non-saturées du massif. Les argiles, dans leur majorité, restent quasi-saturées jusqu’à des valeurs élevées des pressions interstitielles négatives et leur comportement mécanique dans ce domaine peut être décrit par la notion de contraintes effectives de Terzaghi. Toutefois, l’application du principe de Bishop permet de traiter avec le même formalisme d’éventuelles zones en forte désaturation correspondant à une couche de sol plus grossier ou une strate d’argile fortement désaturée. Le développement théorique de l’approche proposée (Atwa, 1996, Amimur et Omari, 2002) repose sur huit hypothèses principales : H1. Continuité de l’écoulement entre zones saturées, quasi-saturées et non-saturées de l’aquifère ;   H2. Relation univoque entre le degré de saturation du sol et la pression de l’eau interstitielle ; H3. La perméabilité du sol est fonction de son degré de saturation ; H4. Écoulement décrit par la loi de Darcy, généralisée par Richards (1931) ; H5. Validité de la notion de contraintes effectives de Terzaghi tant que le sol reste quasisaturé ; H6. Comportement dans la zone désaturée régi par les lois de comportement du sol saturé, les contraintes effectives étant définies par l’équation de Bishop où la variation du paramètre  permet de représenter les variations des propriétés mécaniques du matériau ; H7. Incompressibilité des grains solides ; H8. Hypothèses des petites déformations. L’approche proposée étant destinée à présenter la continuité du comportement hydraulique et mécanique entre les zones saturées et non saturées du massif, sa description analytique a reposé sur deux principes :  Une réécriture de l’équation de la conservation de la masse d’eau pour un milieu déformable et à degré de saturation variable.  Une redéfinition de la notion de contraintes effectives à travers les principes de Bishop pour pouvoir gérer la déformabilité des parties non-saturées du massif avec les mêmes lois de comportement que pour les sols saturés.

EQUATION DE CONSERVATION DE LA MASSE D’EAU

La continuité de l’écoulement s’exprime par l’équation de conservation de la masse d’eau interstitielle au niveau élémentaire (figure 3.1). Cette équation peut être écrite en fonction de la masse volumique de l’eau ρw, du volume d’eau continu dans l’écoulement de sol Vw et du volume total de l’élément V, on obtient :        t ) V V ( div( v) w w w  (3.1) Où v  désigne la vitesse d’écoulement au sens de Darcy et t le temps. Après développement, l’équation précédente se met sous la forme :                     t V V V t V V t V V .div(v) v.grad w w w w w w w w   (3.2) En négligeant le second terme, supposé petit, et on divisant l’équation résultante par w , on obtient : NOUALI.A Formulation Variationnelle De La Consolidation Avec Surface Libre 33               t V V V V t V V V t V div(v) w w w w w  (3.3) Sachons que w w w w a u      (compressibilité du fluide) et tr( ) V V     (déformation volumique dans l’élément considéré), l’équation de conservation de la masse d’eau peut s’écrire :                t tr( ) V V t V V t u a V V div(v) w w w w w  (3.4) Compte tenu des définitions du degré de saturation v w r V V S  et de la porosité V V n v  , cette dernière équation se met sous la forme :                  t tr( ) n S t V V t u div(v) n S a r w w r w  (3.5) Figure 3.1: Elément de sol non saturé. Par ailleurs, en différenciant l’équation définissant Sr par rapport à ses deux variables Vw et Vv, on a :       v w v v w r V V . .V V V S (3.6) On en déduit : Vw Vv Sr Sr Vv      (3.7) NOUALI.A Formulation Variationnelle De La Consolidation Avec Surface Libre 34 et V V n S S V V v r r w        (3.8) Le volume des solides étant supposé constant dans l’élément, on a tr( ) V V V Vv       , et l’équation 3.8 devient : n S S tr( ) V V r r w         (3.9) L’équation de conservation de la masse d’eau se met alors sous la forme :                  t tr( ) S t S n t u div(v) n S a r w r r w  (3.10) Où 0 t tr(ε) (1 n) S t S n t u div(v) n S a r w r r w                   (3.11) Compte tenu de l’hypothèse H2 (relation univoque entre le degré de saturation et la pression interstitielle), l’équation 3.11 devient :                       t tr( ) ( n) S t u u S n t u div(v) n S a (u ) r w w (u ) w r w (u ) r w w w  (3.12) En introduisant la charge hydraulique h égale à : z u w w   (ce qui implique que h u ) w w     l’équation de la conservation de la masse d’eau se met finalement sous la forme :                           t tr( ) ( n) S t h u S div(v) n S a (u ) r w (u ) r w (u ) w r w w w  (3.13) Cette dernière équation permet de décrire la continuité de l’écoulement dans l’ensemble du massif ; elle prend, par ailleurs, en compte les trois sources d’emmagasinement, à savoir la compressibilité du fluide aw, l’entrée de l’air S t  r  et la déformabilité du sol tr() t . D’un autre coté, cette équation permet, par le choix des paramètres appropriés, de retrouver l’équation de conservation de la masse d’eau caractérisant un milieu déformable continuellement saturé ou celle d’un milieu indéformable en présence de surface libre.