Formalisme utile

La physique, dans sa généralité, traite de deux types de problème. Le premier consiste en la découverte des lois élémentaires de l’univers. Le second concerne l’utilisation de ces lois élémentaires pour les différents systèmes à N-corps qui existent dans la nature. En physique des plasmas, l’interaction élémentaire que nous avons à prendre en compte est tout à fait connue : il s’agit de l’interaction électromagnétique. La complexité de cette physique vient de ce qu’elle constitue un problème à N-corps. Suivant le régime étudié, ce problème à N-corps prend différent aspects, et on utilise différentes approximations pour le traiter. La physique des plasmas denses, par ses aspects de comportement généralement classique des noyaux, de dégénérescence partielle des électrons, d’interaction à longue portée et de limite thermodynamique, constitue un problème à N-noyaux classiques et ZN-électrons quantiques, à température finie, à N infini, volume V infini et N/V constant (limite thermodynamique). Nous allons introduire ici quelques outils théoriques du problème à N-corps qui sont utiles pour la physique des plasmas denses. 

Généralités sur le problème à N-corps en physique des plasmas denses

Dans le présent travail, nous allons nous pencher principalement sur la modélisation des aspects électroniques du plasma. Nous allons donc devoir faire usage de formalismes qui permettent de traiter les problèmes à N-corps quantiques. Pour plus d’explications sur les théories ayant trait à de tels problèmes, le lecteur pourra se reporter par exemple aux classiques Refs. [25, 26]. De manière très générale, un système de fermions est décrit par un état à N-corps |Ψi élément de l’espace de Fock antisymétrique F (−) {E}. Formellement, cet espace de Fock peut ˆetre construit par la somme directe des N-produits tensoriels antisymétrisés de l’espace d’état à 1-corps E (c’est-à-dire les espaces qu’engendrent les déterminants de Slater de rang N). F (−) {E} ≡ ⊕∞ N=0 ⊗ N (−) E (2.1) o`u nous avons défini ⊗0 (−) E = {|∅i}, espace d’état constitué de l’état du vide. Dans la suite, nous noterons {|Ψj i} une base de F (−) {E}.

En ce qui concerne l’espace d’état à 1-corps E, nous noterons {|ϕj i} une base quelconque, {|ri} la base des états de position et {|ki} celle des états d’impulsion. Nous définissons aussi les opérateurs a † |ϕi et a|ϕi , respectivement de création et d’annihilation d’un état |ϕi ∈ E. Parmi les Observables1 à action dans F (−) {E}, nous pouvons noter le hamiltonien Hˆ : Hˆ = Tˆ + Vˆ + Uˆ (2.2) o`u Tˆ, Vˆ sont deux Observables à 1-corps agissant dans F (−) {E}, associées respectivement aux Observables T˜, V˜ agissant dans E. Tˆ correspond à l’opérateur énergie cinétique et Vˆ correspond à l’opérateur d’interaction avec un potentiel extérieur. Tˆ = X |ϕii,|ϕj i hϕi |T˜|ϕj ia † |ϕii a|ϕj i = Z d 3k1 (2π) 3 d 3k2 (2π) 3 Ek2 δ3(k1 − k2)a † |k1i a|k2i (2.3) o`u Ek2 ≡ (~k2) 2/(2m) dans le cas non-relativiste et Ek2 ≡ ((~k2) 2 c 2 + m2 c 4 ) 1/2 dans le cas relativiste (on sous-entend alors les sommes sur les spins ainsi que sur les états d’électrons et de positons). Vˆ {v(r)} = X |ϕii,|ϕj i hϕi |V˜ |ϕj ia † |ϕii a|ϕj i = Z d 3 r1d 3 r2v(r2)δ3(r1 − r2)a † |r1i a|r2i (2.4) Uˆ est une Observable à 2-corps agissant dans F (−) {E}, associée à l’Observable U˜ agissant dans ⊗2 (−) E. Uˆ correspond à l’opérateur d’interaction à 2-corps. Dans le cas des plasmas, il s’agit de l’interaction coulombienne. Uˆ = X |ϕii,|ϕj i,|ϕki,|ϕli hϕiϕj |U˜|ϕkϕlia † |ϕii a † |ϕj i a|ϕlia|ϕki (2.5a) = Z d 3 r1d 3 r2d 3 r3d 3 r4 ( δ3(r1 − r3)δ3(r2 − r4) a † |r1i a † |r2i a|r4ia|r3i |r3 − r4| ) (2.5b) Une autre Observable utile est l’opérateur nombre de particules Nˆ que l’on définit de la manière suivante : Nˆ = X |ϕj i a † |ϕj i a|ϕj i (2.6) Les plasmas qui nous intéressent sont des systèmes à température finie. Nous avons besoin, dès lors, de considérer des mélanges statistiques d’états N-corps. Pour ce faire, il est utile de définir la matrice densité ρ. Si nous considérons un mélange des états de base |Ψj i ∈ F(−) {E}, avec les probabilités P {|Ψj i)}, la matrice densité du mélange peut etre définie comme suit : ρˆ = X |Ψj i P {|Ψj i)} |Ψj ihΨj | (2.7) Ainsi, la moyenne thermodynamique A = hAˆi de toute observable Aˆ agissant dans F (−) {E} s’obtient de la manière suivante :

hAˆi = Tr  ρˆAˆ  = X |Ψj i hΨj |ρˆAˆ|Ψj i (2.8) Dans le cadre de la thermodynamique, il est également utile de définir l’entropie S : S = −kBTr (ˆρ ln ˆρ) = −kB X |Ψj i P {|Ψj i} ln (P {|Ψj i}) (2.9) 1Dans tout ce travail, nous désignons par “Observable” tout opérateur hermitique dont les vecteurs propres constituent une base de l’espace d’état. 2.1. EQUATION DE SCHR ´ ODINGER ¨ A 1-CORPS… 19 ` La valeur moyenne des Observables à 1-corps ne fait pas intervenir la totalité de la matrice densité. Soit Aˆ une Observable à 1-corps agissant dans F (−) {E}, associée à l’Observable A˜ agissant dans E. Sa valeur moyenne est : hAˆi = Tr  ρˆAˆ  = Tr  ρˆ X |ϕii,|ϕj i hϕi |A˜|ϕj ia † |ϕii a|ϕj i   = X |ϕii,|ϕj i hϕi |A˜|ϕj iTr  ρaˆ † |ϕii a|ϕj i  (2.10) Nous pouvons alors définir la matrice densité réduite à un corps ˜ρ1 de la manière suivante : hϕj |ρ˜1|ϕii = Tr  ρaˆ † |ϕii a|ϕj i  (2.11) La seule connaissance de la matrice densité réduite à 1-corps ˜ρ1 suffit à connaitre la valeur moyenne de toute Observable à 1-corps. Les éléments diagonaux de la représentation |ri de la matrice densité réduite à un corps constituent ce que l’on appelle la densité n(r), valeur moyenne de l’opérateur nombre de particules dans l’état |ri : ˆn(r) n(r) = hr|ρ˜1|ri = Tr  ρaˆ † |ri a|ri  = Tr (ˆρnˆ(r)) (2.12)

Equation de Schrodinger à 1-corps : conventions et notations

L’équation de Schr¨odinger décrit les particules non-relativistes et sans spin. Pour toute précision supplémentaire sur les propos résumés ci-dessous, le lecteur pourra se reporter aux ouvrages courants de mécanique quantique, notamment aux Refs [27, 28]. L’espace d’état E des particules sans spin peut ˆetre intégralement engendré par les états de position |ri E = Er (2.13) L’équation de Schr¨odinger pour un état |ϕi stationnaire peut ˆetre écrite : H˜ S|ϕi = P˜ 2 2m − V˜ ! |ϕi = E|ϕi (2.14) o`u il convient de mentionner que nous convenons du signe − devant le potentiel afin que le potentiel attractif du noyau soit de signe positif. En représentation |ri, l’équation devient : −~ 2 2m ∇2 rϕ(r) − v(r)ϕ(r) = Eϕ(r) (2.15) Le cas des ondes planes correspond au cas des particules qui ne sont soumises à aucun potentiel et sont donc régies par l’équation de Schr¨odinger mettant en jeu le hamiltonien H˜ 0 S : H˜ 0 S |ϕ freei = P˜ 2 2m |ϕ freei = E|ϕ freei (2.16) 20 CHAPITRE 2. FORMALISME UTILE 2.2.1 Etat d’impulsion définie, ondes planes ´ Considérons les états à impulsion définie |ki, c’est-à-dire les états propres de l’opérateur impulsion P˜ : P˜ |ki = ~k|ki (2.17) en représentation |ri, cette définition devient : −i~∇rhr|ki = ~khr|ki (2.18) Il est alors évident que la représentation |ri des états à impulsion définie est : hr|ki = e ik.r (2.19) Pour ces états, nous avons les relations d’orthonormalisation et de fermeture suivantes, qui correspondent aux définitions de la distribution de Dirac et de la transformée de Fourier : hk|k ′ i = Z d 3 rei(k ′−k).r = (2π) 3 δ3(k ′ − k) (2.20) Z d 3k (2π) 3 |kihk| = I (2.21) o`u δ3 est la distribution de Dirac à 3 dimensions, I l’opérateur identité de l’espace d’état E. Si nous introduisons les états d’impulsion dans l’équation de Schrodinger des particules libres, nous obtenons : ~ 2k 2 2m ≡ Ek = E (2.22) ainsi, les états |ki correspondent aux états propres d’ondes planes. Nous notons : |ki ≡ |ϕ free k i .