Simulation 3D éléments finis des macroségrégations en peau induites par déformations thermomécaniques

 Stratégie de résolution

La démarche suivie s’articule autour de quatre points : la résolution individuelle des équations, la résolution couplée des équations, la stratégie de validation et les moyens utilisés.

Résolution individuelle des équations

Les méthodes de résolution des équations s’appuient sur la méthode des éléments finis. Cette méthode, apparue au cours des années 1940, permet de passer des équations aux dérivées partielles à des équations discrétisées résolues numériquement. Seuls quelques aspects de la méthode sont présentés dans ce paragraphe. Une description détaillée se trouve dans [Ern02] et [Rap03]. La méthode des éléments finis repose sur une décomposition du domaine Ω (Ω ⊂ d avec d la dimension de l’espace) en éléments finis telle que : Ω = Û e∈E Ωe où E représente l’ensemble des éléments de Ω (E ⊂ ) et Ωe l’espace de Ω occupé par l’élément e. Cette décomposition de Ω définit un maillage de Ω. Sur ce maillage, des nœuds sont définis. La résolution des équations consiste à déterminer la valeur des inconnues à chacun de ces nœuds. Pour cela, trois étapes sont nécessaires pour passer des équations aux dérivées partielles aux équations discrétisées. La première étape correspond à l’écriture de la formulation forte du problème, c’est-à-dire des équations à résoudre avec leurs conditions aux limites. La deuxième étape correspond à la formulation faible du problème, obtenue en multipliant les équations par des fonctions-test puis en intégrant sur le domaine Ω de calcul. Enfin, la dernière étape consiste à approximer toute grandeur φ par φh définie de la manière suivante, pour tout point M ∈ Ω : φh(M) = Ønoe i=1 ϕi(M)φ(Ni) avec ϕi la fonction d’interpolation du nœud i, Ni la position du nœud i et noe le nombre total de nœuds du maillage. Dans notre cas, l’interpolation sera linéaire et les éléments finis seront de type 1, c’est-àdire des triangles en dimension deux et des tétraèdres en dimension 3, comme représentés à la figure III.1. Les noeuds du maillage sont les sommets des éléments finis. (a) 2D (b) 3D Fig. III.1: Eléments finis utilisés 50 Chapitre III: Stratégie suivie et méthodes numériques de résolution III.1.2 Résolution couplée des équations Le modèle de macroségrégation implique de résoudre le couplage de la conservation de la quantité de mouvement, de la masse, de l’énergie et de la masse des espèces chimiques sur le domaine Ω. En effet, la vitesse des phases influence le transport de l’énergie et des espèces chimiques. En retour, l’énergie et la masse des espèces chimiques agissent sur le champ de vitesse via la convection, la contraction thermique et chimique et le retrait à la solidification. De plus, énergie et espèces chimiques sont liées via le modèle de microségrégation. Le schéma de résolution adopté est donné à la figure III.2. Pour chaque incrément de temps, le calcul débute par la résolution de la conservation de l’énergie puis celle des espèces chimiques. Ces résolutions donneront accès directement à éhêm et à éwêm. Pour finir, la détermination du champ de vitesse se fera en deux étapes : une première étape pour calculer v l (étape de la mécanique des fluides) et une seconde pour calculer v s (étape de la mécanique du solide). Ainsi, pour chaque incrément de temps, les équations ne sont résolues qu’une fois. Ce schéma de résolution est donc un couplage faible des équations. Toutefois, la valeur la plus récente des variables sera utilisée au cours du calcul. Le schéma de résolution sera détaillé au chapitre 5. A l’instant t : t + ∆t Résolution de la conservation de l’énergie =⇒ éhê t m Résolution de la conservation des espèces chimiques =⇒ éwê t m Résolution de la mécanique 1. Mécanique des fluides : =⇒ v l t 2. Mécanique du solide : =⇒ v s t Fig. III.2: Schéma de résolution du modèle de macroségrégation pour un incrément de temps

Stratégie de simulation et de validation

La simulation des macroségrégations en peau à solide déformable est un calcul complexe. Elle a été construite en trois étapes comme indiquée à la figure III.3. La première étape consiste à simuler la macroségrégation à solide fixe et rigide (v s = 0 m.s−1 ). La deuxième étape, indépendante de la première, simule la déformation du solide. Enfin, la dernière étape est la réunion des deux précédentes et correspond à la simulation souhaitée. Cette décomposition a été guidée par le fait que chacune des étapes correspond à des analyses approximées d’expériences qui seront présentées aux chapitres IV et V. La résolution du modèle de macroségrégation pourra ainsi être testée en comparant les résultats  expérimentaux et numériques. Cette reproduction numérique des expériences représente des cas relativement complexes de calcul. Avant de les mettre en place, des tests sur des cas numériques simples ont été ménés. 1. Macroségrégation à solide fixe et rigide (v s = 0 m.s−1 ) 2. Déformation du solide 3. Macroségrégation en peau à solide déformable Fig. III.3: Approche adoptée pour la simulation des macroségrégations en peau à solide déformable

Moyens utilisés

La finalité de ces travaux est la simulation des macroségrégations en peau dans le contexte de la coulée continue. Thercast® est un code de solidification permettant des simulations tridimensionnelles par élements finis des phénomènes thermomécaniques associés au refroidissement du métal pour des configurations de type lingot ou coulée continue. La mise en œuvre numérique de la thermomécanique a donc été effectuée grâce au logiciel Thercast® . Toutefois, les développements numériques ont principalement été effectués dans CimLib® , bibliothèque avec laquelle Thercast® peut communiquer. CimLib® est une bibliothèque d’objets C++ dédiée aux simulations massivement parallèles par éléments finis des procédés de mise en forme des matériaux [Dig07] [Mes09]. Les résolutions de la mécanique des fluides, de l’énergie et des espèces chimiques sont faites grâce à cette bibliothèque. La mécanique du solide a quant à elle été résolue par Thercast® . Dans ce chapitre, les méthodes numériques éléments finis utilisées pour résoudre chacune des équations ainsi que les tests de ces méthodes sur des cas simples sont exposés. La présentation des méthodes et des cas se feront dans l’ordre suivant : mécanique des fluides, énergie, espèces chimiques et mécanique du solide. 

Résolution de la mécanique des fluides

 Formulation forte

La résolution de la mécanique des fluides correspond à la résolution de la conservation de la masse et de la quantité de mouvement pour le liquide. Les équations de conservation sont celles présentées au tableau II.4 du chapitre II. Pour la conservation de la masse, on considère que v s = 0 m.s−1 . La formulation forte du problème est alors la suivante : 52 Chapitre III: Stratégie suivie et méthodes numériques de résolution Sur le domaine Ω :    ∂ ! ρ l év l ê  » ∂t + ∇ · ! g lρ lv l × v l  » − ∇ · é l ê +g l∇p l − g lρ lg + µ l Kperm g l 2 ! v l − v s  » = 0 ∂éρê ∂t + ∇ · ! ρ l év l ê  » = 0 (III.2.1) Sur la frontière ∂Ω, on définit les conditions aux limites suivantes : • év l ê = vimp sur ∂Ωv, (vitesse imposée) • é ê · n = Timp sur ∂Ωs (contrainte imposée). avec ∂Ωv et ∂Ωs formant une partition de ∂Ω. Le système III.2.1 est résolu sous les hypothèse suivantes : 1. le métal est supposé incompressible, c’est-à-dire éρê = cste = ρ0. La seconde équation devient ∇ · év l ê = 0. Dans la première équation, ∂(ρ l év l ê) ∂t ≈ ρ0 ∂év l ê ∂t et ∇ · ! g lρ lv l × v l  » ≈ ρ0∇ · ! g lv l × v l  » . Toutefois, pour prendre en compte les mouvements de convection dans le liquide, ρ l dans le terme de gravité g lρ lg dépendra de la température et de la concentration du liquide suivant la relation : ρ l = ρ0 A 1 − βT (T − Tref ) − neltall Ø i=1 βwi (w l i − wrefi ) B (III.2.2) où βT est le coefficient de dilatation thermique (volumique) du matériau, βwi est le coefficient (volumique) de dilatation solutale de l’élément i, Tref et wrefi la température de référence et la concentration de référence de l’élément i pour lesquelles ρ l = ρ0 et neltall le nombre total d’éléments d’alliage. Considérer un milieu incompressible avec une masse volumique variant avec la température et la concentration du liquide dans le terme de gravité correspond à l’approximation de Boussinesq. Cette approximation est généralement adoptée pour simuler les macroségrégations dans les alliages métalliques.