Hypo-Free Hyper-Minimizer

La loi de commande Hypo-Free Hyper-Minimizer

Les mêmes repas, les mêmes injections chaque jour fut une option pour le traitement du diabète de type 1. L’insulinothérapie fonctionnelle (§1.2.4) est une approche éducative qui permet au patient d’ajuster ses doses d’insulines grâce aux outils que sont le compensatoire (CF) et le Carbo-to-insulin ratio (CIR). Ces outils, estimés à partir d’un protocole clinique [2], servent à calculer la dose adéquate1 en se basant sur la mesure de glycémie G, l’objectif glycémique Gref, la quantité de glucides (CHO), et l’Insulin on Board (IOB). L’Assistant Bolus calcule alors : UBol = UBG + UCarb − IOB UBol = G − Gref CF + CHO CIR − IOB (6.1) L’injection (6.1) calculée par les Assitants bolus, qui sont utilisés dans la vie de tous les jours par les personnes atteintes de diabète de type 1, vient de la pratique clinique. Cette injection est exprimée en termes simples de besoins (UBG + UCarb) moins ce qui est en stock (IOB). Cependant, la dose correcte d’insuline reste difficile à évaluer car : • le CF peut varier durant la journée [30], en cas d’activité physique [25], de stress ou de maladie ; • le CIR varie en fonction de la composition des repas [31] ; • le nombre de glucides peut être mal estimé ; • une estimation incorrecte de la DIA induit une erreur du calcul d’IOB et une injection qui ne correspondra pas aux besoins. L’hypoglycémie est la conséquence d’une DIA qui est sous-estimée tandis qu’une sur-estimation de la DIA provoquera des hyperglycémies. L’Eq (6.1) est utilisée pour introduire la loi de commande Hypo-Free Hyper-Minimizer (HFHM). Elle est basée sur la formule du calcul du bolus de correction d’hyperglycemie, c’est à dire dans le cas particulier où UCarb = 0. UCor = UBG − IOB.

 Propriétés de l’Hypo-Free Hyper-Minimizer

Cette section apporte les preuves rigoureuses de stabilité et positivité des trajectoires de la boucle fermée. Nous démontrons que le retour d’état génère une commande positive assurant ainsi la positivité de x˜1, soit x1(t) ≥ x1ref . En termes cliniques, cette propriété garantit l’absence d’hypoglycémie. Cette contrainte existe dès la conception alors que pour les algorithmes PID utilisés pour la régulation de glycémie, une couche de sécurité supplémentaire coupe l’injection en cas de prévision d’hypoglycémie §6.1, et pour les algorithmes MPC c’est une fonction de pénalisation qui modulera la commande3 §6.2. La positivité des trajectoires de commande et de l’état i.e. u˜k(t) ≥ 0 et x˜(t) ≥ 0 ∀t ≥ 0, est prouvée en utilisant la notion d’ensemble positivement invariant. 6.2.1 Préliminaires Dans cette section nous réutiliserons les résultats sur les systèmes positifs tirés de [70] (déjà utilisés au §3.7.5) et introduisons ceux sur les ensembles positivement invariants tirés de [105]. Ils nous seront utiles pour l’analyse de positivité dans la suite de ce chapitre ainsi que pour le chapitre suivant. Définition 4. Soit le système autonome x˙ = Ax, x ∈ R n , et la trajectoire x(t, x0), où x0 est la condition initiale, l’ensemble Ω ⊆ R n est positivement invariant si ∀x0 ∈ Ω =⇒ x(t, x0) ∈ Ω ∀t ≥ 0. Notation 1. Soit M ∈ R r×n , alors Ω(M) définit le polyèdre Ω(M) = {x ∈ R n |Mx ≥ 0} . Théorème 2. [105] Le polyèdre Ω(M) est un ensemble positivement invariant (PIS) au sens de la Définition 4 si et seulement si il existe une matrice Metzler H ∈ R r×r telle que : MA − HM = 0. (6.9) Corollaire 1. (au Théorème 1 [70]) Un système autonome x˙ = Ax avec y = Cx est internement positif si et seulement si C ∈ R p×n + et A est Metzler. 6.2.2 Positivité de l’état et de la commande Avec (6.7) et (6.6), la boucle fermée est : x˜˙(t) = (A + BFk)˜x(t) = A˜x˜(t), x˜˙(t) =   0 −θ2 0 0 − 1 θ3 1 θ3 k θ2θ3 −k −k − 1 θ3   x˜(t), (6.10) y(t) = x1(t) Les valeurs propres de A˜ sont λ1 = λ2 = − 1 θ3 et λ3 = −k . Aussi le système est stable pour tout k > 0. On remarque que A˜ n’est pas Metzler. En vertu du Corollaire 1, le système n’est pas internement positif, c’est à dire qu’il existe des conditions initiales telles que les trajectoires passent par, ou conduisent à des états négatifs. Le retour d’état assure la positivité de trajectoire et de la commande si x˜(t) ≥ 0 et u˜k(t) = Fk x˜(t) ≥ 0.