INSTABILITES DE POISEUILLE

Méthodes numériques de résolution de l’équation d’Orr Sommerfeld

Traitement de l’équation 

L’équation (І.1.5) est un problème aux valeurs limites de quatrième ordre que nous pouvons résoudre soit par la méthode aux différences finies soit par une des méthodes de Runga – Kutta combinée à un processus itératif.  Traitement de l’équation (ІІ.1.5) par la méthode des différences finies Si nous posons (ІІ.2.1) alors résoudre l’équation (ІІ.1.5) se ramène à résoudre les deux problèmes aux valeurs limites couplés suivants (ІІ.2.1- a) (ІІ.2.1- b) avec comme conditions aux limites Pour résoudre le système (ІІ.2.1) par la méthode aux différences finies, nous allons discrétiser d’abord l’intervalle continu [0; 1] en un domaine discret formé de Jm-1 intervalles réguliers de pas dy. On écrit alors y = dy*(j-1) En approximant la dérivée seconde de G par une discrétisation centrée de second ordre, l’équation (ІІ.2.1 –a) est approchée par le système algébrique suivant j = 2, 3,., Jm-1 (ІІ.2.2- a) De même l’équation (ІІ.2.1- b) conduit à j = 2, 3,., Jm-1 (ІІ.2.2 – b) Ces deux systèmes tridiagonaux doivent être fermés par les quatre conditions aux limites discrétisées suivantes Pour J =2 nous écrivons (2+3 Sur la paroi supérieure c’est-à- dire pour nous avons Master II : Mécanique des fluides et applications 26 (ІІ.2.3) Nous nous rendons compte que nous ne disposons pas en fait que d’une seule condition aux limites sur G car l’expression de Gjm n’est rien d’autre qu’une approximation de la dérivée seconde de F ! Donc pour la mise en route du processus de calcul, il faut nécessairement donner soit une valeur arbitraire de G à la frontière j = Jm soit imposer un profil arbitraire de la fonction F et le corriger par des processus itératifs. Cependant le grand problème du poi nt de vue théorique et numérique est ailleurs car l’équation (ІІ.2.1 – a) est une équation homogène et donc si elle n’est pas bien conditionnée nous risquons de trouver une solution triviale G(y)=0 comme nous l’avons pu le constater lors des tests numériques que nous avons effectués. Pour l’éviter il faut donc prendre une valeur arbitraire de G non nulle à la frontière supérieure. D’un autre côté l’équation (І.1.5) n’admet des solutions que pour certaines valeurs particulières des nombres d’onde et de Reynolds et de la fréquence valeurs qui doivent satisfaire à l’équation de dispersion. Cette dernière qui est une équation très instable, doit être au préalable résolue pour deux paramètres arbitrairement fixés à ch oisir entre Re, k et w avant d’enclencher le calcul de G puis de F. Ce procédé de résolution peut donc conduire à des résultats numériques sujets à caution car il faut s’assurer qu’ils ne sont pas dus aux artefacts numériques. Ce sont ces raisons qui nous ont poussé à opter pour une autre démarche plus sure et moins couteuse en temps et volume de calculs. 2 Traitement du système (ІІ.1.3) Pour résoudre le problème d’Orr- Sommerfeld, considérons le système (ІІ.1.3) au lieu et place de l’équation (ІІ.1.5). En posant alors le système (І.1.3) se ramène à (ІІ.2.4) avec L’intégration de la première équation donne (ІІ.2.5) Comme donc (ІІ.2.6) Master II : Mécanique des fluides et applications 27 Puisque alors nous avons (ІІ.2.7) avec En intégrant l’équation (ІІ.2.7) en tenant compte de et après quelques manipulations il vient : (ІІ.2.8) En intégrant aussi en tenant compte du fait sur les parois constante=0, il vient (ІІ.2.9) Cependant pour que la fonction F existe il faut que les paramètres de contrôle Re, w et k vérifient une certaine équation dite équation de DISPERSION. En effet la fonction F doit vérifier la dernière condition aux limites c’est- à- dire En dérivant par rapport à y et en prenant sa valeur au point y = 1, il vient d’où ou (ІІ.2.10) C’est l’équation de DISPERSION. Pour résoudre numériquement cette équation transcendante nous optons pour la méthode de Newton- Raphson qui a une vitesse de convergence quadratique contrairement aux méthodes de Bolzano et de point fixe qui ont des vitesses de convergence linéaire. Pour résoudre l’équation de dispersion par la méthode de Newton- Raphson on utilise le processus itératif suivant On se donne une précision ε et un nombre maximal d’itérations On se fixe une valeur du nombre d’onde k 1ère étape : on se donne une valeur arbitraire de pour n=1 2ème étape : on calcule Master II : Mécanique des fluides et applications 28 3ème étape : on compare εcal = avec ε si εcal > ε alors on remplace par et on retourne à l’étape 2 sinon on calcule et on regarde son signe. Si ce dernier est négatif, on rejette la valeur de k et on recommence le calcul avec une valeur de k. Dans le cas contraire, on garde la valeur de k et celle de puis on cherche un autre couple (k, ) afin de trouver la courbe de dispersion. Une fois déterminé les valeurs des couples de la courbe de dispersion on peut alors tracer les courbes F et F’ en fonction de y. 2.Résultats et commentaires L’équation de dispersion a été résolue en fixant une précision ε =10-6. Les nombres maximum d’itérations pour avoir nos solutions n’excédent pas 10. Les valeurs du nombre d’onde seuil et du nombre de Reynolds critique obtenues par notre programme sont et . = 5,421045331277324.10-6 La figure (3. 1) nous donne les variations du nombre d’onde k en fonction du produit . Cette courbe peut être considérée comme une branche de la courbe de dispersion si . Nous constatons que le nombre d’onde croît d’abord assez rapidement en fonction de puis lorsque prend des valeurs élevées les variations du nombre d’onde deviennent de plus en plus faibles. On peut présumer que la courbe de dispersion doit avoir une allure elliptique puisque en théorie de la stabilité linéaire les nombres d’onde et de Reynolds doivent avoir des valeurs limites. Seules les couples ( , k) qui vérifient l’équation de dispersion peuvent conférer à la fonction d’onde perturbée une existence. Donc pour un nombre d’onde k fixé, le nombre de Reynolds et la partie imaginaire de la célérité doivent décrire une branche hyperbolique équilatère. Master II : Mécanique des fluides et applications 29 Figure 3. 1 : Variation du nombre d’onde k en fonction du produit . Les figures (3. 2) – (3. 8) montrent les variations de l’amplitude de la fonction du courant perturbée F et de sa d érivée F en fonction de la coordonnée transversale adimensionnelle y pour différentes valeurs de nombre d’onde k et de . Contrairement à l’écoulement de base qui ne dépend pas du nombre de Reynolds, la topologie de l’écoulement perturbé est fortement liée à ce dernier. Nous constatons globalement que les fonctions F et F’ croissent avec l’augmentation du nombre d’onde et donc du no mbre de Reynolds. En effet lorsque ce dernier augmente les effets d’inertie prennent de plus en plus d’ampleur, le fluide s’écoule de plus en plus vite et l’écoulement devient de plus en plus désordonné. On rappelle que les modules des fonctions F et F’ sont proportionnels respectivement aux vitesses transversale et longitudinale perturbées. Les courbes des figures (3. 2) – (3. 8) montrent que dans la région située près de l’axe du canal c’est la vitesse transversale perturbée qui prédomine. Au fur et à mesure qu’on s’éloigne de la zone axiale de la conduite elle décroît pour s’annuler à y=1 à cause de l’adhérence. Par contre l’écoulement longitudinal perturbé est surtout localisé dans la zone située au voisinage de la paroi du canal. Lorsque le nombre d’onde augmente le maximum de l’amplitude la vitesse augmente aussi et se d éplace vers la paroi. Dans cette région nous avons de fortes variations de F’. L’écoulement perturbé s’y comporte alors comme un écoulement de type couche limite. Au fur et à mesure que l’on s’éloigne de l’axe de la conduite l’écoulement longitudinal perturbé s’accélère et quand on se rapproche de la paroi il ralentit rapidement pour s’annuler à cause des effets de viscosité