La dynamique moléculaire

La méthode DM est une méthode de simulation/modélisation physique d’un système à l’échelle atomique via la description du mouvement des atomes et/ou molécules qui le composent .Dans la dynamique moléculaire, l’évolution temporelle d’un ensemble de particules en interaction est obtenue par la résolution numérique des équations classiques du mouvement en utilisons bien sûr un modèle de potentiel pour décrire le plus précisément l’interaction entre ces particules. La précision des résultats obtenus ainsi que les performances de cette méthode donc dépend du choix de ce potentiel.

Principe de base 

La simulation Dynamique Moléculaire (DM) est une simulation numérique qui consiste à calculer l’évolution temporelle des positions ri et vitesses vi d’un système composé de N atomes en interaction, en intégrant numériquement les équations de la mécanique classique newtonienne. Elle est basée sur les points suivants :  Une description classique du mouvement des atomes  Une description semi-empirique de la structure électronique pour chaque atome i dans le système :𝑓𝑖 = 𝑚𝑖𝑟 𝑖 .  Utilisation des lois de la mécanique statistique pour déterminer les variables désirés.

Equations du mouvement 

 Les équations du mouvement à résoudre dépendent des degrés de liberté pris en compte dans l’étude du système. Si tous les degrés de liberté sont pris en considération, on doit résoudre les équations des mouvements des atomes, ces derniers étant considérés comme des masses ponctuelles. Pour un système de N atomes ayant une énergie cinétique K et une Chapitre ІІ: La dynamique moléculaire 20 énergie potentielle V, les équations du mouvement d’un atome i peuvent être obtenues à partir des équations suivantes : q = ∂H ∂pi et p = − ∂H ∂qi (ІІ.1) Dans lesquelles L’Hamiltonien 𝐻(𝑞, 𝑞) = 𝐾 + 𝑉 est une fonction des coordonnées généralisée q= (q1, q2 ,…,q3N) et de leurs moments conjugués p = (p1,p2,..,P3N). Si les positions des atomes sont exprimées dans le repère cartésien, les équations (II.1) deviennent les équations du mouvement de Newton : r = 1 m FI , PI = mir i (ІІ.2) 

Algorithmes d’intégration 

 Dans la méthode de la DM, la résolution des équations du mouvement de Newton [5] se fait de manière discrète en utilisant la méthode des différences finies. Si à un instant donné t les positions, vitesses et accélérations d’une particule sont connues, on peut alors calculer les positions, vitesses et accélérations de cette particule à l’instant t+∆t, où ∆t est le pas d’intégration. Pour réaliser les simulations de dynamique moléculaire, on à donc besoin d’algorithmes qui permettent une telle discrétisation temporelle des équations du mouvement et qui ont les caractéristiques suivantes : – Ils doivent être rapides et demander un cout informatique le plus faible possible. – Ils doivent permettre l’utilisation de grands pas d’intégration ∆t. – Ils doivent satisfaire aux lois de conservation de l’´energie et du moment. – Enfin, ils doivent être sous une forme simple et être facile à programmer. Il y a plusieurs algorithmes qui peuvent être utilisés pour l’intégration de l’équation du mouvement des différentes particules constituants le système à simuler (eqII.2) et chacun de ces algorithmes a ses avantages et ses inconvénients.

Conditions périodiques 

Les systèmes modèles utilisés dans les simulations de dynamique moléculaire peuvent contenir jusqu’à plusieurs dizaines de milliers, au maximum quelques centaines de milliers de particules. En comparaison, les systèmes réels contenant ~ 6.02 × 1023 particules par mole apparaissent comme infinis. Comme il n’est pas possible de considérer un tel nombre de particules lors de nos simulations, nous ne reproduisons qu’une portion du système réel placé dans un espace fini appelé boîte de simulation [9]. Les paramètres de cette boîte (longueurs des cotés, forme, nombre d’atomes,. . .) correspondent aux caractéristiques du système étudié telles que maille élémentaire, composition chimique, densité, etc. Néanmoins, un problème persiste. Imaginons que l’on souhaite simuler le comportement d’atomes dans le volume d’un échantillon. Pour cela on va utiliser un système modèle de 1000 particules qui sont placées uniformément dans une boîte de simulation cubique. On a alors plus que la moitié des particules qui sont situées sur les surfaces de la boîte et qui possèdent un environnement différent de celui des particules situées au centre de la boîte de simulation. Les Chapitre ІІ: La dynamique moléculaire 23 caractéristiques de ces particules seront donc différentes de celles situées au centre de la boîte. Pour éviter que les résultats ne soient biaisés par la taille finie du système et les effets de surface, on utilise des conditions périodiques aux frontières. La boîte de simulation (ainsi que les particules qu’elle contient) est dupliquée suivant toutes les directions de l’espace, comme le présente la figure (II.5) pour un espace à deux dimensions.