Le ciment : le code de couplage

L’algorithme de couplage en temps L’algorithme de couplage temporel (voir la figure 3.2) présent dans ANSYS MFX est, d’après Menter et al. [70], implicite. En effet, l’algorithme proposé est partitionné et propose des itérations sur la phase de couplage. Ces dernières visent à réduire l’erreur introduite par l’échange des grandeurs à l’interface. De plus, l’algorithme présent dans MFX est synchrone et permet le sous-cyclage de la partie fluide. L’utilisateur a la possibilité de modifier le nombre maximal d’itérations par boucle itérative, ce modèle devient, pour une itération, un modèle explicite. Il n’utilise pas de prédicteur, ce qui simplifie le paramétrage. Cependant, le nombre d’itérations nécessaires sans prédicteur est de manière générale supérieur à une résolution avec prédicteur.

Le maillage dynamique

Le comportement du maillage dynamique est traduit sous la forme d’une équation de diffusion : ∇· 1 k n disp ∇ ξ n i 2 = 0 (3.6) avec ξ n i le déplacement relatif du nœud n dans la direction i et k n disp la raideur du maillage au nœud n considéré. Cette raideur peut-être imposée par l’utilisateur ou être déterminée par l’une des relations suivantes : k n disp = 3 1 V 4Cstiff (3.7) k n disp = 3 1 d 4Cstiff (3.8) La première provoque une augmentation de la raideur lorsque le volume V de la maille diminue, la seconde une augmentation de la raideur lorsque la distance d à la paroi diminue. Le cœfficient Cstiff permet de prendre plus ou moins en compte la variation de taille ou de distance. Ces deux relations ont pour but le maintien de la qualité du maillage et de la répartition des mailles du point de vue de – 56 – 3.3. Le ciment : le code de couplage Avancement en temps Test de convergence Fin du calcul Résolution de la structure Résolution de l’écoulement Initialisation Transfert des efforts à l’interface Transfert des déplacements à l’interface Boucle de couplage Boucle d’avancement en temps Calcul du maillage dynamique Figure 3.2 – Algorithme de couplage utilisé – en bleu les éléments du solveur fluide, en rouge celui du solveur structure et en vert ceux du code de couplage leurs tailles. Dans notre cas, nous utilisons une raideur fonction de la distance à la paroi, la valeur par défaut du cœfficient est Cstiff = 10. L’interprétation de l’équation (3.6) est plus simple dans le cas où k n disp est constant. On se place alors dans le cas d’une équation du type ressort. Le laplacien du déplacement signifie que l’on utilise un déplacement moyenné sur les nœuds environnants. 

Transfert des grandeurs

Les transferts de données utilisent les méthodes présentées au paragraphe 1.1.4. que sont la méthode de préservation du profil avec une méthode de mapping par bucket pour le transfert des déplacements, ainsi que la méthode GGI pour le transfert des efforts. Afin d’assurer une meilleure stabilité au calcul, les grandeurs échangées sont sous-relaxées. Par exemple, la grandeur appliquée φ est définie par : φ = φold + α (φnew − φold) (3.9) – 57 – Approche numérique avec α le paramètre de sous-relaxation, pris par défaut à 0,75 ; φold est la valeur de φ à l’itération de couplage précédente et φnew la valeur calculée à l’itération courante. Pour chaque grandeur échangée (les efforts et les déplacements) la convergence est contrôlée. On estime la convergence atteinte lorsque : ε ∗ = log(ε/β) log(10/β) ≤ 0 (3.10) avec β un paramètre de tolérance pris à 0,01 par défaut et ε défini par : ε = ëφnew − φoldë ëφnewë (3.11) Ceci revient à dire que le résultat est convergé à 1% près avec les valeurs par défaut. 

La première brique : le solveur fluide

La méthode des volumes finis dans CFX

. Discrétisation des équations CFX permet la résolution des équations de Navier-Stokes par une méthode des volumes finis. Cette méthode consiste à intégrer sur un volume de contrôle (CV) les équations (3.1) et (3.2). Le volume de contrôle dans CFX est centré autour d’un nœud du maillage. Ces frontières sont des portions de médianes prises entre les limites des éléments et les points centraux de ces derniers (voir figure 3.3). Volume de Contrôle Elément Nœud Centre de l’élément Figure 3.3 – Construction d’un Volume de Contrôle pour un maillage 2D sous CFX Pour prendre en compte la déformation du maillage, on utilise une formulation ALE des équations de Navier-Stokes discrétisées sur un volume de contrôle de volume V (t) et de frontière S(t). d dt Ú V (t) ρf dV (t) + Ú S(t) ρf 1 vj − v ∗ j 2 dnj = 0 (3.12)  La première brique : le solveur fluide d dt Ú V (t) ρfvi dV (t)+Ú S(t) ρf 1 vj − v ∗ j 2 vi dnj = − Ú S(t) p dnj + Ú S(t) A µ A ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi B − 2 3 µδij ∂vj ∂xj B dnj (3.13) La formulation ALE fait apparaître le vecteur vitesse du maillage v ∗ . Le terme transitoire prend en compte la modification du volume du CV tandis que le terme d’advection prend en compte le transport advectif à travers la frontière mobile du volume de contrôle. La bonne détermination de ces termes passe par le respect de la loi de conservation géométrique pour éviter de créer des erreurs. Dans CFX, cette dernière est respectée en déterminant par le même algorithme le volume du CV et celui balayé par la frontière mobile [5]. La normale à la paroi nj est orientée vers l’extérieur du volume de contrôle (CV). a. Traitement du terme temporel Le terme transitoire est discrétisé par une méthode d’Euler implicite du second ordre utilisant une formulation décentrée aval (backward), qui fait intervenir les termes du pas de temps en cours et des précédents. La décomposition en série de Taylor au second ordre d’une fonction ψ infiniment dérivable au voisinage de i permet d’écrire : 3 ∂ψ ∂t 4 i = ψti − ψti−1 ti − ti−1 − ti − ti−1 2 A ∂ 2ψ ∂t2 B i + H (3.14) On obtient alors le schéma suivant pour la décomposition du terme transitoire : 3 ∂ψ ∂t 4 i = 3 2 ψti − 2ψti−1 + 1 2 ψti−2 ∆t (3.15) avec ∆t le pas de temps. Ce schéma est conservatif en temps, implicite et robuste. De plus, le pas de temps n’est pas limité par la stabilité du schéma. La précision en temps est du second ordre mais il peut générer des oscillations non physiques. Les termes temporels des équations de transport du modèle de turbulence ainsi que ceux de l’équation de transport pour la fraction volumique de vapeur sont discrétisés par un schéma mixte permettant de passer d’une formulation au second ordre à une formulation au premier ordre du type haute résolution.