Le code Aether

Le code AeTher (pour AeroThermodynamique) est utilisé pour résoudre les équations de Navier-Stokes pour un fluide compressibles exprimées en variables entropiques à l’aide de la méthode des éléments finis stabilisés par SUPG (pour Streamline Upwind Petrov Galerkin). La formulation élément fini permet l’utilisation de maillages non-structurés très adaptés à des confi- gurations complexes [26]. L’utilisation des variables entropiques symétrise les équations de Navier-Stokes et permet d’obtenir des propriétés thermody- namiques [104, 82]. Cette formulation facilite l’ajout d’équations de chimie pour traiter les espèces réactives apparaissant dans des écoulements hyperso- niques [28]. De nombreux modèles de turbulence (k-ε, Spalart-Allmaras, etc) sont disponibles pour les calculs stationnaires utilisant les équations RANS (pour Reynolds Averaged Navier-Stokes). Les calculs temporels en DES/LES (Detached Eddy Simulation/Large Eddy Simulation) sont possibles grâce à la méthode classique ZDES [41] (Zonal Detached Eddy Simulation), et égale- ment grâce à une approche originale utilisant la méthode VMS (Variational MultiScale) [98, 160]. Des fonctions de forme d’ordre élevé sont utilisables pour améliorer la convergence spatiale du schéma [121].La convention d’Einstein sera principalement utilisée lorsque les indices utilisés désignent des directions de l’espace. Il n’y aura donc pas de risque de confusion sur les bornes de la somme à effectuer. Par exemple, l’équa- tion précédente, i, j et k sont des dimensions, et parcourent dans un cas tridimensionnel chacun l’ensemble {1, 2, 3}.

Les équations de Navier-Stokes sous forme conserva- tive

Le système d’équations de Navier-Stokes décrit le comportement d’un fluide visqueux newtonien compressible. Il est composé de cinq équations (quatre en 2D) de conservation : une équation scalaire pour la masse, une équation vectorielle pour la quantité de mouvement et une équation scalaire pour l’énergie. Si l’on note x = (xet µ désigne la viscosité moléculaire dynamique. Le vecteur q est le flux de chaleur, calculé à l’aide de la loi de Fourier, q = −κ∇T , où κ est la conductivité thermique du gaz, et T la température. Enfin, le système est fermé par une loi d’état. Pour les gaz parfaits, elle s’écrit p/ρ = RT , où R est la constante universelle des gaz parfait. On pourra consulter [61] et [143, 144] pour une présentation générale des propriétés mathématiques des équations d’Euler.K est semi-définie positive. De plus, la formulation entropique (2.7) permet d’imposer l’inégalité thermodynamique de Clausius-Duhem [82, 104]. Enfin, l’utilisation des variables entropiques permet facilement d’ajouter au systèmes des équations de chimie [28].Les variables entropiques nécessitent des changements de variables non- linéaires pour trouver les variables de travail naturelles en aérodynamique (pression, vitesse, etc). Cela complexifie la mise en place des conditions aux limites, détaillée dans le chapitre 6.

La méthode des éléments finis permet de discrétiser des équations aux dé- rivées partielles mises sous forme faible. Ce cadre mathématique permet, pour certains types d’équations, de garantir l’existence et l’unicité des solutions. Il permet également d’établir des estimations d’erreur a priori et a posteriori. Quelques rappels de base sur les éléments finis et leur implémentation sont donnés dans cette section, qui n’a pas pour but d’être exhaustive. Les bases mathématiques peuvent se trouver dans des ouvrages de références, comme celui d’Ern et Guermond [50], Zienkiewicz et Taylor [162, 161] ou encore Hughes [79].On reprend les équations de Navier-Stokes non linéaires définies en (2.7), qu’on cherche à résoudre sur un domaine Ω dont la frontière Γ est suffisamment régulière. Pour simplifier le propos et l’établissement de la forme faible, on utilise la forme stationnaire de ces équations en enlevant le premier terme de (2.7). Pour les détails de l’intégration en temps dans les calculs instationnaires, on se réfèrera à [145, 146] et, pour un aperçu plus récent, à [98, 160]. On se place tout de suite dans le cas discret pour faciliter l’introduction de la stabilisation définie aux éléments [80]. On partitionne le domaine Ω en éléments Ωne considèrera que des conditions de Dirichlet sur l’interface du domaine. L’utilisation des variables entropiques empêche un traitement simple des conditions aux limites. Des détails sont exposés dans le chapitre 6 et dans [145]. Soit q(V ) une fonction non linéaire des variables entropiques qui calcule sur un point de l’interface la ou les grandeurs naturelles (comme la pression, la densité ou la vitesse) à imposer en ce point. La solution aux équations de Navier-Stokes non linéaires sera cherchée dans l’espace .