Les ingénieries didactiques

Les ingénieries didactiques : les domaines, les tâches et les phases

Les domaines mathématiques spécifiques De nombreux domaines mathématiques enseignés au lycée semblent être favorables à une étude des interactions possibles entre différents domaines mathématiques spécifiques et le domaine de l’algorithmique. En effet, les programmes précisent que l’algorithmique a une place naturelle dans tous les domaines des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (analyse, géométrie, statistiques et probabilités, logique…).

Comme nous l’avons précisé précédemment, des domaines comme la théorie élémentaire des nombres, l’analyse, les probabilités-statistiques sont presque tous accessibles aux trois niveaux scolaires des lycées et permettent ainsi de mettre en place l’étude des interactions possibles avec l’algorithmique. Au niveau du lycée, les élèves ont suffisamment de connaissances mathématiques dans les domaines de l’analyse et des probabilités-statistiques sur les trois niveaux scolaires du lycée et pour la théorie élémentaire des nombres plus particulièrement au niveau de la Terminale Scientifique, pour mieux comprendre ce que peut être un apport de l’algorithmique à certains apprentissages mathématiques. En effet, ils peuvent plus précisément interpréter et définir une preuve heuristique à l’aide d’un algorithme par exemple ou analyser les différentes étapes d’un algorithme complexe,…

La théorie élémentaire des nombres

Pour les algorithmes considérés dans le domaine de la théorie élémentaire des nombres, nous pouvons nous intéresser à ceux qui permettent un travail constructif sur le concept de preuve, mais aussi sur l’efficacité et la complexité de l’algorithme, et non se limiter à une simple acquisition de compétences nouvelles dans ce domaine mathématique. C’est pourquoi nous choisissons de centrer le travail, non sur les algorithmes classiques comme celui d’Euclide ou sur un test de primalité, mais plutôt sur un processus de calcul mettant en jeu des connaissances plus élémentaires comme les différentes représentations d’un nombre entier naturel dans le système décimal d’un point de vue mathématique mais aussi informatique ainsi que sur le concept de divisibilité dans N.

Ces compétences font partie du programme de l’enseignement de spécialité de Terminale Scientifique. De plus, elles ont déjà fait l’objet de travaux dans les classes antérieures de la part des élèves. Nous proposons ainsi de mettre en place une ingénierie locale autour d’un algorithme complexe et permettant d’obtenir une preuve non explicative d’une conjecture : l’algorithme de Kaprekar pour des nombres entiers constitués de trois chiffres dans le système décimal. 

L’analyse

Les algorithmes considérés dans le domaine de l’analyse concernent des méthodes d’approximation issues du domaine de l’analyse numérique comme la résolution d’équations, la détermination d’un maximum local d’une fonction, l’intégration numérique, les équations différentielles,…

Faisant le choix d’étudier un travail algorithmique sur un même sujet comme contribution  à l’apprentissage en analyse au cours des trois années de lycée de notions aussi diverses qu’approximations, résolution d’équations à une inconnue dans R ou sur des intervalles de R, étude de la continuité sur un intervalle de R, application du Théorème des valeurs intermédiaires, et de son corollaire, le Théorème de la bijection, nous choisissons d’élaborer et d’expérimenter une ingénierie globale autour d’un algorithme d’approximation : l’algorithme de dichotomie.

Les statistiques et les probabilités

Amener les élèves à travailler des algorithmes en lien avec les lois de probabilités qu’elles soient « discrètes » ou « continues », ainsi que sur des marches aléatoires, sont des points forts de l’enseignement des statistique-probabilités des classes des lycées français. Ainsi, comme nous le verrons dans le chapitre 6 de cette partie, de nombreux documents ressources proposés par l’institution ainsi que l’ensemble des manuels scolaires proposent différentes tâches sur ces notions en lien avec l’utilisation de l’algorithmique permettant ainsi de procéder à des simulations de situations aléatoires avec l’intégration de concepts comme

« nombre aléatoire », « fréquences théoriques », « probabilités », « répétitions », « échantillonnage », « estimation », « statistiques inférentielles », « moyennes », « espérance mathématique »,… L’introduction de ces différents concepts se fait de façon progressive, tout au long des trois années de lycée. Ils permettent entre autres que les statistiques et les probabilités, en articulation avec l’algorithmique, trouvent une place naturelle dans des tâches en relation […] avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets.