REPRESENTATION NUMERIQUE ET MATHEMATIQUE DES STRUCTURES METEOROLOGIQUES COHERENTES D’ ECHELLE SYNOPTIQUE

Structures cohérentes en météorologie synoptique : état de l’art et objectifs 

Les modèles conceptuels de la cyclogenèse

 Une des principales questions qui animent les recherches en météorologie dynamique d’échelle synoptique est la suivante : comment expliquer l’existence et la croissance des tempêtes ? Bien qu’abordé depuis au moins 150 ans, ce problème n’est toujours pas résolu de fac¸on satisfaisante. Les progrès théoriques et les améliorations des techniques de prévision se sont développés conjointement, en bénéficiant l’une de l’autre dans un aller-retour fructueux entre connaissance théorique et capacité technique. 

Les anciennes approches

 La première motivation pour une meilleure connaissance des tempêtes a été (et est toujours) d’être capable de les prévoir, en raison des dégˆats provoqués par les vents et les pluies associés. L’étape initiale a été de pouvoir observer et mesurer les champs météorologiques qui sont liés à ces tempêtes. Après la découverte de la pression atmosphérique et l’invention du baromètre, le lien entre vent et pression a été observé, en particulier par les stations météorologiques pérennes (comme celle de Paris). Dès le XVIIIe siècle, on était capable à bord des navires de prévoir la force du vent à l’arrivée d’une tempête en fonction de la chute de pression du baromètre, grˆace à des règles empiriques. Au XIXe siècle, à partir des mesures de plusieurs stations en Europe, Buys-Ballot a énoncé la loi éponyme qui fait le lien entre champ de pression et champ de vent. Les vents intenses d’une tempête sont ainsi associés à des basses pressions et leur force est proportionnelle au gradient de pression. Les sources de creusement du champ de pression ont alors été exploitées pour tenter d’expliquer la formation des tempêtes (par exemple la libération de chaleur latente, Espy, 1841). De la deuxième moitié du XIXe siècle aux années 1920, le contraste thermique entre les régions tropicales et polaires retient l’attention. Margules (1903, 1906) examine l’hypothèse que les tempêtes puisent dans l’énergie potentielle de ces deux sources de chaleur comme le ferait une machine thermique. Les dépressions extratropicales joueraient ainsi un rôle de redistribution de chaleur de l’Equateur aux Pôles. Ces avancées se traduisent finalement par la théorie norvégienne (Bjerknes, 1919; Bjerknes et Solberg, 1922), Thèse – Représentation des structures cohérentes d’échelle synoptique qui repose sur le modèle conceptuel de front polaire (Fig. 1.1), ligne de fort contraste thermique qui sépare les masses d’air tropicales et polaires. Les dépressions et fronts seraient le résultat d’instabilités sur cette surface de discontinuité entre deux fluides différents. Solberg (1928) (puis plus tard Orlanski, 1968), en considérant les équations de l’instabilité de surface (von Helmholtz, 1888), tente de formaliser mathématiquement les ondes du front polaire. Il obtient des longueurs d’onde typiques de l’ordre de 1000 à 2000 km, différentes des ondes longues (3000 à 6000 km) que le modèle du front polaire est censé décrire. FIG. 1.1: Formation d’une depression selon le mod éle conceptuel du front polaire.

D’après Bjerknes et Solberg (1922). Malgré cet échec théorique, et bien que l’existence du front polaire n’a jamais été démontrée – il s’agit avant tout d’une commodité pratique –, la théorie norvégienne s’est révélée être un modèle puissant pour conceptualiser les systèmes dépressionnaires en l’absence d’une forte densité d’observations. Elle a été à la base de la prévision météorologique traditionnelle, faite au moyen de cartes synoptiques et de tracés à la main. Aujourd’hui encore, bien que le modèle du front polaire soit dépassé dans son ensemble, il demeure quelques concepts d’importance, en particulier l’existence de fronts associés à une dépression. La structure horizontale des fronts chauds et fronts froids (Bjerknes, 1919) est réaliste. A partir des années 1930, la dynamique de la haute troposph` ère est examinée de plus près, ce qui renouvelle la vision de la cyclogenèse. D’un point de vue théorique, Rossby (1939) calcule les caractéristiques des grandes ondes atmosphériques qui peuvent se développer dans un courant zonal. Ce travail a lieu dans le cadre du modèle barotrope avec des variations linéaires du paramètre de Coriolis (effet β). Bjerknes (1937) et Sutcliffe (1939) montrent l’importance que peut jouer la dynamique en altitude pour le développement d’une dépression de surface. Parallèlement, on découvre l’existence de courants-jets, qui sont des tubes de vent forts situés au latitudes moyennes, en dessous de la tropopause. En tirant partie des mesures de températures issues d’un ensemble de radiosondages épars, Bjerknes et al. (1933) furent les premiers à mettre en évidence un courant-jet. Cependant, ce sont surtout les aviateurs de la Seconde Guerre Mondiale traversant le Pacifique Nord qui observèrent véritablement ces couloirs de vent intense. Ainsi, il arrivait parfois qu’ils manquassent leur objectif de fac¸on inexpliquée, s’ils volaient dans un courant-jet. En 1945, des pilotes américains purent mesurer des vents supérieurs à 400 km/h Chapitre 1 – Structures cohérentes en météorologie synoptique : état de l’art et objectifs 9 localement. Les courants-jets furent décrits plus en détail par la suite (Palmén et Newton, 1948; Riehl et Collaborators, 1952). Ainsi, la découverte des courants-jets active des recherches théoriques sur le rôle de l’altitude pour la cyclogenèse, et en particulier sur l’importance du cisaillement vertical de vent. Conjointement aux débuts de la prévision numérique du temps (Charney et al., 1950), la prise en compte de la baroclinie donne lieu à de véritables théories physiques de la formation des tempêtes. 

Les theories d’instabilité

 Principe de l’instabilite

Les théories d’instabilité (Rayleigh, 1880), issues de la mécanique des fluides théorique, consistent à se donner un système d’équations et un état de base stationnaire pour ce système. En considérant des petites perturbations sur cet état de base, on peut linéariser le système d’équations. Soit l’évolution de la variable d’état U par le système non linéaire A : dU dt = A (U) . On suppose l’existence d’un état de base Um qui est stationnaire, donc A (Um) = 0. La perturbation u = U−Um est évoluée de fac¸on linéaire au voisinage de Um par l’opérateur A = ∂A ∂U . On cherche ainsi les solutions u telles que du dt = A.u . Dans la mesure o`u A est autonome (Farrell et Ioannou, 1996a), la résolution analytique donne : u(t) = u(0)e At . L’approche classique consiste à rechercher les modes normaux du système linéaire, qui sont les modes les plus instables pour les temps t → ∞. Les premiers modeles d’instabilit è barocline Les premières recherches de l’instabilité d’une atmosphère barocline reviennent à Charney (1947) et Eady (1949). En construisant un système d’équations filtré, proche du système quasigéostrophique, et en choisissant un état de base barocline offrant un cisaillement vertical de vent, Charney (1947) montre l’existence d’ondes instables et d’autres stables, dont il caractérise partiellement les vitesses de phase et les taux de croissance, à partir de calculs numériques. Indépendemment, Eady (1949) utilise un système très proche, qui possède une condition à la limite supérieure comme étant une surface rigide à la tropopause (o`u la vitesse verticale est nulle), et l’hypothèse f-plan : il s’agit du modèle de Eady. Ce modèle simplifié est résolu de fac¸on analytique, dont les modes normaux ont la forme : u = u(0) exph i( −→k . −→x −ωt) i . 10 Thèse – Représentation des structures cohérentes d’échelle synoptique Ce sont donc des ondes (Fig. 1.2), caractérisées par leur taux de croissance (découlant de la partie imaginaire de ω) et leur vitesse de phase, constants dans le temps. FIG. 1.2: Mode de Eady le plus instable, exprime en g éopotentiel (en haut, H : zone de hautes pression, L : zone depressionnaire), et en temp érature (en bas, C : froid, W : chaud). Le vent de l’etat de base est repr ésent é par des fl éches grises. D’apr ès Holton (1992). ` Les critères de stabilité ainsi que les taux de croissance obtenus par le modèle de Eady sont réalistes.

En particulier, il détermine une longueur d’onde minimale au-delà de laquelle il existe des modes instables. Le modèle de Eady est la base des modèles d’instabilité barocline. Les longueurs d’onde et vitesses de phase sont conformes aux ordres de grandeur des grandes dépressions des latitudes moyennes. Contrairement aux explications précédentes de la cyclogenèse, Charney et Eady en ont construit une véritable théorie, basée sur un formalisme mathématique. Ils ont mis en évidence un modèle et un état de base qui permettent la croissance de tempêtes dont la taille et la croissance donnent des ordres de grandeur compatibles avec l’observation. Raffinements de l’instabilite barocline Les modes normaux donnent lieu à des dépressions de grande longueur d’onde (4000 km environ), aux vitesse de phase assez lentes. Or les dépressions observées ont une variété importante en taille et en vitesse. En particulier, certaines tempêtes explosives sont de petite échelle (inférieure à 1000 km) et ont des vitesses de déplacement rapides. Elles se développent dans le front associé à une Chapitre 1 – Structures cohérentes en météorologie synoptique : état de l’art et objectifs 11 dépression de grande échelle (Fig. 1.3). Dans les observation comme dans le modèle semigéostrophique (Hoskins et Bretherton, 1972), le front associé au mode normal est une véritable surface de discontinuité. Peut-on donc construire une théorie de l’instabilité frontale qui expliquerait la croissance de ces tempêtes de petite échelle dans un front de grande échelle ? FIG. 1.3: Analyse de la pression reduite au niveau de la mer (intervalle 4 hPa) le 1er decembre 1982 a 12 TU. Cette carte illustre ` une succession de depressions de petite échelle (ondes frontales) qui se developpent le long d’un front de grande echelle. D’apr és Joly et ` Thorpe (1990). Les premiers travaux sur les instabilités frontales (Solberg, 1928; Orlanski, 1968) donnent des modes instables qui se comparent difficilement aux tempêtes observées. Des cadres plus réalistes sont alors explorés. Moore et Peltier (1987) dans un modèle à équations primitives et Sch¨ar et Davies (1990) dans un modèle semi-géostrophique à tourbillon potentiel uniforme, ont étudié l’instabilité de l’état quasi-stationnaire qu’est le front associé au mode normal le plus instable. On trouve effectivement des modes instables dont la longueur d’onde est de l’ordre de 1000 km et dont les taux de croissance sont supérieurs à ceux des modes normaux. Joly et Thorpe (1990) montrent que l’ajout d’une anomalie de tourbillon potentiel en basses couches, formée par exemple par la condensation associée à l’onde barocline de grande échelle, permet d’obtenir des croissances plus fortes. Un développement en deux phases est donc suggéré : d’abord la formation d’une anomalie de tourbillon potentiel par la condensation dans le front de grande échelle, puis la croissance de l’onde frontale dans cet environnement.

Cependant, l’évolution non linéaire de l’onde se stabilise au bout de 24 h, et les gradients sont limités dans le cadre semi-géostrophique (Malardel et al., 1993). L’instabilite g énéralis ée Par construction, le taux de croissance d’un mode normal est constant. Par conséquent, les phases de croissance explosive observées (Petterssen, 1955) ne peuvent pas être expliquées par 12 Thèse – Représentation des structures cohérentes d’échelle synoptique les modes normaux. De plus, un frottement faible dans le modèle de Eady réduit fortement les taux de croissance des modes normaux (Williams et Robinson, 1974; Farrell, 1985). A la re- ` cherche de perturbations transitoires fortement instables, Farrell (1989) propose une technique d’instabilité généralisée basée sur le calcul de modes optimisés sur un temps fini (Lacarra et Talagrand, 1988). Etant donné l’état de base Um(t), stationnaire ou non, on recherche les perturbations de faible amplitude u(t) qui croissent le plus vite entre les instants 0 et t. A cause de la non-stationnarité ` de Um(t), l’opérateur linéaire A(t) est maintenant non autonome (Farrell et Ioannou, 1996b), et on a donc : du dt = A(t).u . Entre les instants 0 et t, un propagateur linéaire Φ[0,t] peut être défini, qui permet d’écrire (Farrell et Ioannou, 1996b) : u(t) = Φ[0,t]u(0) . La durée d’optimisation t étant fixée, on recherche donc les perturbations u qui maximisent hu(t),u(t)i hu(0),u(0)i = hΦ[0,t]u(0),Φ[0,t]u(0)i hu(0),u(0)i = hΦ[0,t]Φ∗ [0,t] u(0),u(0)i hu(0),u(0)i , o`u h.,.i désigne un produit scalaire et ∗ l’opérateur adjoint. Les solutions sont les vecteurs propres de Φ[0,t]Φ∗ [0,t] qui ont les valeurs propres maximales. On les appelle les modes singuliers du produit scalaire choisi. Ceux-ci ont des taux de croissance plus forts que les modes normaux (Farrell, 1989), qui se confrontent bien avec les taux observés. La question de l’instabilité frontale généralisée a été examinée par Snyder et Joly (1998). Les perturbations obtenues ont des taux de croissance faibles, et leur structure dépend fortement du choix de la norme pour le calcul des vecteurs singuliers (Joly, 1995). Ceci est problématique, car il n’y a pas de raison objective de privilégier une norme par rapport aux autres pour la recherche de modes instables. Sur un cas observé, la comparaison de la tempête avec les modes singuliers les plus instables (Descamps et al., 2007), dans leur régime linéaire et non linéaire, révèle des dynamiques très différentes, en particulier en ce qui concerne l’évolution de leur structure. Ainsi, l’instabilité généralisée ne permet pas de bien reproduire la tempête étudiée.

Les deficiences des th éories d’instabilit één résumé, les théories d’instabilité peinent à reproduire correctement la dynamique des cyclogenèses. On a vu que la variété des échelles des dépressions, les taux de croissance les plus forts et les cycles d’évolution complexes sont difficilement interprétables par une quelconque théorie d’instabilité. Il ne faut pas oublier que la recherche de modes instables repose sur deux hypothèses fortes. La première est le caractère infinitésimal des perturbations, nécessaire à la linéarisation des équations. Par construction, un mode instable croˆıt dans le régime linéaire, et il finit inévitablement par atteindre le régime non linéaire, o`u sa dynamique peut changer radicalement. Même si les cycles d’évolution semi-géostrophiques non linéaires des cyclogenèses sont bien représentés Chapitre 1 – Structures cohérentes en météorologie synoptique : état de l’art et objectifs 13 par le mode normal le plus instable dans une première phase (Simmons et Hoskins, 1979; Sch¨ar et Wernli, 1993), la saturation non linéaire finit par jouer un rôle. Concernant les cyclogenèses frontales, Thorncroft et Hoskins (1990) montrent aussi l’importance de la prise en compte des non-linéarités pour leur développement. Encore plus problématique pour la défense des théories d’instabilité est la démonstration par Malardel et al. (1993) que les instabilités frontales de certaines longueurs d’onde sont très rapidement annulées par la dynamique non linéaire. En outre, les calculs linéaires ne peuvent pas prendre en compte correctement certains effets fortement non linéaires, en particulier les phénomènes à seuil. La deuxième hypothèse derrière les calculs d’instabilité est la définition d’un état de base sur lequel évoluent les perturbations. Cette séparation est difficile à justifier rigoureusement dans le cas des dépressions observées. En permettant la prise en compte d’un état de base non stationnaire, l’instabilité généralisée est une avancée par rapport à l’instabilité modale. Il demeure cependant la nécessité de définir une trajectoire de référence autour de laquelle croissent les perturbations. Ce choix peut être arbitraire et rend difficile l’application de la théorie aux cas réels de cyclogenèses. 

Le developpement barocline 

Au moment ou les premières théories d’instabilité se répandaient, d’autres approches étaient développées en parallèle. Le concept de developpement barocline a ainsi été mis en avant par des chercheurs ayant une vision plus proche de la réalité synoptique que de la modélisation mathématique. Bjerknes (1937) et Sutcliffe (1939) font le lien entre le creusement d’une dépression et la répartition de la divergence du vent dans la troposphère. Puis, ces résultats sont étendus par l’étude de l’équation de tendance de pression (Bjerknes et Holmboe, 1944). L’analyse de l’équation d’évolution de la vorticité (Sutcliffe, 1947) montre l’importance de la vitesse verticale pour l’évolution des noyaux de vorticité. L’amplification du tourbillon par la vitesse verticale (terme d’étirement) pose les bases du modèle du développement barocline. La confrontation des équations avec des cas réels de cyclogenèse valident ce mécanisme (Petterssen, 1956), et montre aussi la nécessité de prendre en compte des noyaux de tourbillon d’amplitude finie (Petterssen, 1955), contrairement aux perturbations infinitésimales des théories d’instabilité. Petterssen et Smebye (1971) proposent ainsi deux types de développement des cyclogenèses. Les dépressions de type A s’amplifient progressivement dans une zone barocline ; elles ont un comportement proche des modes instables. Les dépressions de type B se développent lorsqu’un tourbillon préexistant en altitude, un précurseur, vient interagir avec une zone barocline de basses couches.

Depuis l’étude de Sanders (1986), il est accepté que la plupart des dépressions sont initiées par un tel tourbillon d’altitude. La plupart des bombes météorologiques (Sanders et Gyakum, 1980) en particulier sont de type B. Une longue climatologie (15 hivers) des phases de maturation des dépressions montrent que les cyclogenèses qui se creusent le plus vite associent un noyau de vorticité en altitude (Ayrault et Joly, 2000). Ainsi, la plupart des cyclogenèses sont le résultat de l’interaction entre un noyau de vorticité situé à la tropopause et en basses couches, dans un environnement barocline matérialisé par un courant-jet (Fig. 1.4). Ces tourbillons peuvent porter le nom d’anomalie, ou de structure coherente . Leurs interactions impliquent de fortes non-linéarités. Des études idéalisées de cyclo- 14 Thèse – Représentation des structures cohérentes d’échelle synoptique genèses mettant en jeu des structures d’amplitude finie (Takayabu, 1991; Sch¨ar et Wernli, 1993) ont permis de mieux décrire les mécanismes d’interaction. Takayabu (1991) a montré l’importance de la position des tourbillons pour le développement barocline.