MODELE DE PARTICULE ELEMENTAIRE DE MASSE NULLE

A partir du système d’équations universelles ` (E.U.)    ˆdP = − 1 2R(S) dx ˆdS = P dx − dxP nous allons construire un modèle de particule élémentaire de masse nulle. Dans les équations (E.U.) d est mis pour d dτ o`u τ est un paramètre quelconque de la trajectoire. Nous traduirons tout d’abord le caractère élémentaire de la particule étudiée en postulant que sa description ne nécessite pas d’autres variables que celles qui interviennent dans le système (E.U.). Nous choisissons d’autre part deux liaisons, classiques dans l’espace-temps de Minkowski pour décrire une particule de masse nulle : (L1) P µPµ = 0, P de genre futur en tout point x de la trajectoire, ce qui est l’expression habituelle de la nullité de la masse. (L2) S µνPν = 0, S 6= 0 en tout point x de la trajectoire.

La compatibilité des liaisons (L1) et (L2) avec le système (E.U.) sera examinée plus loin. 1 ◦ ) Hélicité et spin scalaire Soit Tx l’espace vectoriel tangent `a la variété-univers V4 au point x : c’est un espace vectoriel hyperbolique normal de dimension quatre. Le tenseur S peut ˆetre identifié `a un opérateur linéaire antihermitien sur Tx, et cet opérateur est de rang pair. Comme ker (S) contient au moins un vecteur d’après (L2) et que S n’est pas nul, c’est un opérateur de rang 2. D’o`u dim (ker (S)) = dim (val (S)) = 2 75/P. – 10 – ker (S) contient un vecteur isotrope et, Tx étant hyperbolique normal, ker (S) est aussi un espace vectoriel hyperbolique normal de dimension deux. val (S) est donc un espace vectoriel euclidien négatif de dimension deux. On a Tx = val (S) ∪ ker (S) et val (S) ∩ ker (S) = {0} (14) En appelant ?(S) l’adjoint de S, on a pf (S) = S. ? (S) = ?(S).S = ± p |det(S)| = 0 (15) puisque S n’est pas régulier 4 .

La relation (15) montre que val (?(S)) ⊆ ker (S). Comme ker (S) est aussi un opérateur antihermitien de rang 2, on a, plus précisément val (?(S)) = ker (S) et ker (?(S)) = val (S) (16) Puisque val (?(S)) = ker (S) est un espace vectoriel hyperbolique normal de dimension deux qui contient le vecteur isotrope P, on peut choisir un second vecteur isotrope J tel que P µJµ 6= 0 et que [P, J] soit une base de val (?(S)). Dans ce cas, ∃λ, µ ∈ R, tels que ?(S)P = λP + µJ Comme ?(S) est anti-hermitien, P ? (S)P = λPP + µPJ = 0 µPJ = 0 avec PJ 6= 0 4. l’opérateur scalaire S. ? (S) = ?(S).S = pf (S) s’appelle ”pfaffien de S”. 75/P. 776 – 11 – d’o`u µ = 0 ?(S)P = λP (17) On pose χ = signe(λ) = ±1 et s = |λ|. Nous appellerons respectivement χ et s l’hélicité et le spin scalaire. D’autre part, Tr (S2 ) = Tr (?(S)2 ), et on peut écrire ?(S) = α(PJ − JP) o`u α ∈ R. Tr (S2 ) = −αTr