Modèles de mousses de spin pour la gravité quantique en 3 dimensions

Fixation de jauge du modele de Ponzano-Regge  Fixation de jauge sur un arbre maximal

Les deux symétries que nous avons identifié agissent aux vertexs d’un graphe, sur des variables vivant sur les arˆetes. La méthode générale pour fixer ce type de symétries est d’utiliser un arbre maximal. Un arbre maximal d’un graphe donné est un sous-graphe qui touche tous les vertexs sans former de boucle fermée (figure 8.2). Dans un tel sous-graphe, tout chemin d’un vertex `a un autre est unique. On peut donner `a ce graphe une structure d’arbre en choisissant pour racine un quelconque de ses vertexs. On fixe alors de jauge de la manière suivante : dans l’arbre, chaque vertex est utilisé pour fixer de jauge l’arˆete dont il est l’extrémité dans l’arbre. La racine n’est pas utilisée. Cette méthode permet de fixer toutes les symétries sauf une, dont il faut tenir compte par la suite.

Fixation de jauge du modèle de Ponzano-Regge 

Pour réaliser la fixation de jauge, on choisit donc un arbre maximal T dans le 1-squelette de ∆, et un arbre maximal T ∗ dans le 1-squelette ∆∗ . On part de l’expression de la fonction de partition Z(∆) = Y e ∗ Z SU(2) dge ∗ ! Y e Z su(2) dXe ! exp  » i X e tr(XeZe) # . (8.36) et on choisit pour commencer de fixer de jauge ge ∗ = I sur T ∗ , (8.37) Xe = 0 sur T . (8.38) Une fois ce type de fixation de jauge effectuée, il faudra vérifier qu’elle ne dépend pas des conditions de jauge choisies, c’est `a dire des arbres et des choix g = I et X = 0 des valeurs auxquelles ont fixe les variables vivant sur les arbres. Symétrie de Lorentz La fixation de la symétrie de Lorentz sur arbre maximale permet de fixer T − 1 symétries, o`u T est le nombre de tétraèdres de ∆. Cette fixation revient simplement `a ne plus considérer les intégrations sur les variables de groupe ge ∗ pour e ∗ ∈ T ∗ . En termes de triangulation, cela revient `a supprimer des faces de la triangulation. La symétrie résiduelle au dernier vertex dual agit par action adjointe diagonale g → k −1 gk sur les variables de groupe restantes. On peut réaliser la fixation de jauge résiduelle [89] en utilisant une mesure fixée de jauge sur Gn/AdG. Cette mesure dµ est définie de la manière suivante. Si f(g1, · · · , gn) est une fonction invariante par action adjointe, on a Z Gn/AdG dµ(g1, · · · , gn)f(g1, · · · , gn) = 1 2 Z H×(G/H)×Gn−2 dhdxdg3 · · · dgnf(h, s(x), g3, · · · , gn), (8.39) o`u H est le sous-groupe de Cartan et dg la mesure de Haar sur le groupe. On a considéré une section s de G/H ∼ S 2 dans SU(2) et donnée par {~x tq x 2 = 1} −→  x1 + ix2 x3 x3 x1 − ix2  . (8.40) La considération de cette section est en réalité superflue pour le cas euclidien mais nécessaire pour le cas lorentzien. Translationelle La fixation de la symétrie translationelle sur un arbre maximal permet de fixer V − 1 symétries. La fixation de Xe `a 0 sur l’arbre revient `a supprimer les intégrations correspondantes, et donc les fonctions δ(Ue) pour les arˆetes associées. En termes de triangulation, cela revient `a supprimer les arˆetes correspondantes de la triangulation. Considérons maintenant le cas de la symétrie translationelle résiduelle. Elle a pour origine l’identité de Bianchi autour du dernier vertex. Pour une triangulation `a un seul vertex, l’identité de Bianchi discrete (8.29) contient `a la fois les éléments Ue et U −1 e pour toutes les arˆetes. Cette identité de Bianchi résiduelle est triviale dans le cas abélien, ce qui traduit le fait qu’une 96 Chapitre 8. La fixation de jauge du modèle de Ponzano-Regge paramétrisation du groupe de jauge était possible avec seulement V − 1 éléments Φv. Dans le cas non-abélien, cette identité de Bianchi est a priori non-triviale et engendre une invariance résiduelle. 8.2.2 Valeur de l’amplitude fixée de jauge Considérons maintenant la forme totale de l’amplitude après fixation de jauge. En particulier il faut tenir compte des déterminants de Fadeev-Popov. On montre [35] que le déterminant de Fadeev-Popov de la fixation de la symétrie de Lorentz est égal `a 1. Le déterminant de FadeevPopov ∆FP de la fixation de la symétrie translationelle est une fonction des éléments de groupe ge ∗ PR(∆, T , T ∗ ) = Y e ∗6∈T ∗ Z SU(2) dge ∗ Y e6∈T δ(Ue) × ∆FP . (8.41) On peut montrer [35] que le déterminant de Fadeev-Popov contribue comme 1 grˆace aux fonctions δ sur les Ue pour e 6∈ T . L’insertion de ce déterminant est donc sans effet et on a pour l’amplitude fixée de jauge PR(∆, T , T ∗ ) = Y e ∗6∈T ∗ Z SU(2) dge ∗ Y e6∈T δ(Ue). (8.42) Ceci constitue l’expression finale fixée de jauge. La suppression de certaines arˆetes et faces fait que cette expression ne peut pas en général se mettre sous une forme `a la Ponzano-Regge. On peut toutefois noter que dans le cas euclidien, la fixation de la symétrie de Lorentz n’est pas indispensable puisque SU(2) est compact. Dans ce cas seule la suppression des arˆetes e de T devient indispensable, et cette fixation peut s’incorporer dans une expression `a la Ponzano-Regge en imposant je = 0 sur ces arˆetes. On peut alors revenir sur l’argument mathématique qui soulignaient la différence entre nombre d’intégrales et de fonctions δ. Apres fixation de jauge, le nombre d’intégrales est F −T +1 alors que le nombre de fonctions δ est de E−V +1. Or pour une variété fermée, ces deux nombres sont égaux car la caractéristique d’Euler d’une variété fermée est nulle χ(M) = −T + F − E + V = 0. (8.43) Dans l’expression de l’amplitude fixée de jauge, le nombre d’intégrales correspond au nombre de fonction δ. Ce n’est pas une preuve de finitude mais indique de meilleure chances de convergences que l’expression initiale. Considérons maintenant le cas d’une variété possèdant des bords. On sait que dans l’action continue, la symétrie de Lorentz agit aussi au bord alors que la symétrie translationelle doit ˆetre de paramètre nul au bord. Ceci se transmet au cas des symétries discrètes du modèle de Ponzano-Regge. On peut également fixer de jauge dans ce cas avec les prescriptions suivantes : – l’arbre T ∗ doit toucher tous les vertex duaux, y compris ceux du bord (c’est `a dire ceux qui – dans le bord – sont duaux aux faces du bord) ; – l’arbre T doit toucher tous les vertex de l’intérieur et un vertex du bord, (que l’on choisit comme racine, c’est `a dire le vertex qui n’est pas utilisé lors de la fixation de jauge). Je présenterai dans la suite des résultats explicites pour les propagateurs sur les variétés Σg × I. 

Fixation de jauge du modèle de Ponzano-Regge

Fixation de jauge comme l’insertion d’un opérateur

Dans cette partie, on présente comment la fixation de jauge de l’amplitude de Ponzano-Regge peut s’écrire comme l’insertion d’un opérateur dans le modèle non-fixé de jauge. De manière générale, considérons une fonction de partition définie comme l’intégrale sur des variables φ d’une ampliude A(φ) Z = Z [Dφ]A(φ). (8.44) Un opérateur O est une fonctionelle de φ et on évaluation est définie comme son insertion dans la fonction de partition hOi = Z [Dφ]O(φ)A(φ). (8.45) Nous allons dans cette partie montrer que fixer de jauge le modèle se récrit comme l’insertion d’un opérateur de fixation de jauge. Après développement par la formule de Plancherel, le modèle non-fixé de jauge s’écrit Z(∆) = Y e ∗ Z SU(2) dge ∗ !X {je} Y e (2je + 1)χ je (Ue). (8.46) On observe alors que le modèle fixé de jauge PR(∆, T , T ∗ ) peut alors s’écrire comme l’insertion dans Z(∆) de l’opérateur O∆,T ,T ∗ (ge ∗ , je) = Y e∈T δje,0 Y e ∗∈T ∗ δ(ge ∗ ). (8.47) On a PR(∆, T , T ∗ ) = Y e ∗ Z SU(2) dge ∗ !X {je} Y e djeχ je (Ue)OT ,T ∗ (ge ∗ , je) (8.48) qu’on écrit sous la forme PR(∆, T , T ∗ ) = hO∆,T ,T ∗ i. (8.49) Cette écriture va nous permettre de répondre `a la question de l’invariance du modèle sous différents choix de fixation de jauge. 8.2.4 Invariances des fixations de jauge La première invariance `a vérifier est celle sous les changements d’arbre, c’est `a dire que PR(∆, T1, T ∗ 1 ) = PR(∆, T2, T ∗ 2 ). (8.50) Ce résultat que nous avons montré dans [38] et qui sera présenté au chapitre 10 s’écrit comme le fait que les évaluations d’opérateurs associées sont identiques, on a hO∆,T1,T ∗ 1 i = hO∆,T2,T ∗ 2 i (8.51) L’objet PR(∆, T , T ∗ ) est donc indépendant du choix de T et T ∗ . En réalité comme expliqué au chapitre 10, il ne dépend pas non plus de la triangulation ∆ utilisée pour trianguler une variété donnée M. On peut donc le noter PR(M). 98 Chapitre 8. La fixation de jauge du modèle de Ponzano-Regge L’autre invariance concerne le choix d’une fixation `a d’autres valeurs que ge ∗ = I et Xe = 0. En termes de l’expression Z(∆) = Y e ∗ Z H/W dθe ∗∆2 (θe ∗ ) !   Y e X je dje   Z∆({je}, {θe ∗ }), (8.52) cette fixation de jauge correspond `a fixer je = 0 et θe ∗ = 0. Le modèle de Ponzano-Regge ne retenant de Xe que sa longueur je et de ge ∗ que sa classe de conjugaison θe ∗ , il est interessant de choisir comme autres valeurs de fixation de jauge d’autres choix de je et θe ∗ . On peut faire cel`a grˆace `a l’écriture comme évaluation d’opérateurs. Considérons un arbre T et un choix de Je sur ses arˆetes, ainsi qu’un arbre T ∗ et un choix de Θe ∗ . On définit l’opérateur OT ,T ∗,Je,Θe∗ = Y e∈T δje,Je dJe Y e ∗∈T ∗ δΘe∗ (ge ∗ ), (8.53) o`u δΘ(g) est définie en appendice A et impose g `a ˆetre dans la classe de conjugaison Θ. On peut alors montrer le résultat suivant [38] hOT ,T ∗,Je,Θe∗ i = Y e (2Je + 1)! × PR(∆, T , T ∗ ), (8.54) o`u Q e dJe est un volume de jauge résiduel. Le résultat de la procédure de fixation de jauge ne dépend donc pas du choix des valeurs auxquelles ont choisit de fixer de jauge.

Exemples explicites

Nous présentons ici quelques exemples explicites de calculs de propagateurs et de fonction de partition. 8.3.1 3-sphère On considère pour variété la 3-sphère S 3 , que l’on triangule `a l’aide de deux tétraèdres (voir figure 8.3). La fonction de partition non-fixée de jauge associée `a ce modèle est Z(S 3 ) = Z SU(2)4 dg1dg2dg3dg4 δ(g1g −1 2 )δ(g1g −1 3 )δ(g1g −1 4 )δ(g2g −1 3 )δ(g2g −1 4 )δ(g3g −1 4 ). (8.55) La résolution des fonctions δ pour g1, g2, g3 montre que cette fonction de partition non-fixée de jauge est divergente Z(S 3 ) = Z dg4  δ(I)δ(I)δ(I). (8.56) On peut alors fixer de jauge en utilisant des arbres maximaux comme indiqué sur la figure 8.4. La prescription pour fixer de jauge une telle amplitude conduit `a éléminer une variable d’intégration et 3 fonctions δ. On a alors PR(S 3 ) = Z G3 dg1dg2dg3δ(g1g −1 2 )δ(g1g −1 3 )δ(g1) = 1, (8.57) qui est fini. Cet exemple constitue une première illustration simple du fait que la procédure de fixation de jauge permet d’éliminer des infinis du modèle de Ponzano-Regge.