MODELES DE PROPAGATION DES FRACTURES

Introduction

La Mécanique Linéaire de la Rupture (MLR) et le Modèle de Zone/Fracture Cohésive (MFC) sont deux outils développés afin d’étudier le comportement mécanique ainsi que l’initiation et la propagation d’une fracture. La modélisation de la propagation de fracture rencontre de nombreuses difficultés car il s’agit d’un problème de frontières mobiles tandis que le trajet de propagation de fracture est implicite. En plus, la concentration ou bien la singularité du champ de contraintes à la pointe de la fracture nécessite également un traitement soigneux. Dans la bibliographie, plusieurs méthodes numériques sont développées telles que : méthode des éléments finis, méthode de remaillage, méthode sans maillage, méthode du champ de phase, etc. Les détails de ces méthodes sont récapitulés dans Prabel (2007). Dans la suite de ce chapitre, une étude bibliographique sur différents aspects de propagation de fracture en utilisant deux approches mentionnées ci-dessus sera présentée. 2.2 Mécanique de la rupture La mécanique de la rupture a été développée depuis plus d’un siècle en se basant sur les premiers travaux pionniers de Kirsch (1898). Les premières études se limitaient dans le cadre de l’élasticité linéaire (i.e. la Mécanique Linéaire de la Rupture, écrite MLR en acronyme). Le problème d’une plaque infinie contenant un trou circulaire et soumise à une contrainte de traction uniforme 0 a été résolu en utilisant la fonction de contraintes d’Airy. Inglis (1913) a élargi la solution de Kirsch (1898) pour le cas d’un trou elliptique et a employé les potentiels complexes pour le résoudre. Inglis (1913) a introduit, pour la première fois, le facteur de concentration de contraintes qui était inversement proportionnel à la racine carrée du rayon de courbure d’une ouverture. Dans le but de prédire la propagation des fractures, Griffith (1921) a établi le premier critère de rupture en se basant sur le théorème d’énergie minimale. Westergaard (1939) a développé le problème d’Inglis en supposant une dimension nulle pour le petit axe de l’ellipse. La solution de Westergaard est obtenue en utilisant l’approche asymptotique. William (1952) a étendu le problème de Westergaard en supposant une forme de «V» pour les entailles et l’a résolu en utilisant la méthode de séparation de variables. Il a également étudié le cas d’une fracture située à l’interface entre deux matériaux isotropes différents (William, 1959). En se basant sur les résultats de William, Irwin (1957) a proposé le concept des facteurs d’intensité de contraintes et a établi le deuxième critère de rupture. Le cas d’une fracture dans un matériau anisotrope a été également étudié par Sih et al. (1965). Dès lors, il y a une énorme quantité de recherches dans ce domaine. Cependant, la MLR représente quelques limitations. D’abord, le champ de contraintes est inversement proportionnel à la racine carrée de la distance par rapport à la pointe de la fracture, ce qui entraine la singularité de la contrainte à l’extrémité de la fracture. Ce résultat n’est pas réaliste puisque le matériau dans cette zone sera détruit sous le moindre chargement imposé. Selon Shet et Chandra (2002), lorsque les matériaux développent des déformations plastiques ou sont localement déchargés pendant le processus de propagation, le concept des facteurs   d’intensité de contraintes n’est plus valable. En outre, la détermination des facteurs d’intensité de contraintes par les méthodes numériques nécessite des calculs sur un contour autour de la pointe de la fracture, ce qui n’est pas facile à mettre en œuvre dans les codes numériques par rapport à d’autres phénomènes irréversibles comme la plasticité et l’endommagement qui peuvent être modélisés en considérant les contraintes et les déformations dans un seul élément. De plus, des discontinuités comme failles et joints rocheux peuvent avoir une certaine rigidité tandis que la fracture considérée dans le cadre de la MLR est toujours supposée avoir une rigidité nulle. Face à ces insuffisances, quelques possibilités peuvent être adoptées : (i) correction par une zone plastique au tour de la pointe de la fracture, (ii) analyse en élastique non-linéaire, (ii) utilisation du modèle de zone/fracture cohésive. Dans l’analyse élastoplastique, l’apparition d’une zone plastique permet d’éviter la singularité du champ de contraintes au tour de la pointe de la fracture. L’estimation de cette zone est en général dérivée grâce à la solution asymptotique de Westergaard pour un milieu fracturé infini et sollicité en mode I (Irwin, 1948 ; Dugdale (1960), parmi d’autres). Dugdale (1960) et Barenblatt (1962) ont développé de premiers travaux sur le Modèle de Zone/Fracture Cohésive (MFC) en se basant sur l’analyse élastoplastique. Cette partie vise à présenter une vue globale sur la MLR et le MFC, ceux qui sont largement utilisées afin d’étudier le problème de propagation de fracture. 

Généralités

Une fracture est considérée comme une surface de discontinuité de déplacements et de contraintes. Les deux faces de discontinuité sont appelées les lèvres (supérieure et inférieure), et l’écartement entre ces deux lèvres est généralement supposé négligeable. En mécanique de la rupture, on distingue deux types de rupture (voir la Figure 2-1a), d’après Leblond (2003) : – Rupture fragile : rupture sans déformation appréciable dans la phase de propagation – Rupture ductile : rupture après une déformation plastique importante dans la phase de propagation. A B O  Déplacement P Effort Début de la propagation de la fracture Début de la décharge A B O  Déplacement P Effort Début de la propagation de la fracture Début de la décharge (a) B A A’ O C  Déplacement P Effort Début de la plasticité Début de la propagation de la fracture Début de la décharge Déformation résiduelle B A A’ O C  Déplacement P Effort Début de la plasticité Début de la propagation de la fracture Début de la décharge Déformation résiduelle (b) Figure 2-1 – (a) Rupture fragile et (b) rupture ductile . En fonction du chargement appliqué, trois modes de fracturation élémentaires sont distingués (voir la Figure 2-2a) : (i) mode d’ouverture (mode I), (ii) mode de glissement plan (mode II), et (iii) mode de glissement anti-plan (mode III). Parmi ces trois modes de fracturation, le mode I est celui le plus fréquemment rencontré et modélisée en pratique.

Champs de contraintes et déplacements autour d’une fracture

Pour une fracture située dans un corps solide et soumise à une contrainte de traction appliquée à l’infini, le champ de contraintes est théoriquement singulier aux extrémités de la fracture tandis que le champ de déplacements reste régulier dans la fracture (sous la forme d’une ellipse). Ci-dessous l’évolution de ces deux champs selon la solution asymptotique de Westergaard (1939) et la solution exacte de Muskhelishvili (1953) sont présentés.

Solution asymptotique de Westergaard (1939)

Cette solution se base sur les propriétés des fonctions analytiques d’une variable complexe. Westergaard (1939) a postulé que    Re Im Z y Z est une solution générale du problème de fracture. Il a été démontré que cette solution vérifiait l’équation bi-harmonique, les équations d’équilibre et les équations de compatibilité de déformation. Cette démonstration est présentée dans l’Annexe 1