Modélisation et analyse de l’impact environnemental sur la dynamique de la méningite

Biologie de la meningite

Transmision 

La transmission s’opére de personne à personne par de gouttelettes sécrétions respiratoires ou pharyngées. Un contact étroit et prolongé (baiser étuenement et toux rapprochée), ou la promiscuté avec des infectées (vie en dortoir, mis en commun des couverts ou des verres) favorise la propagation de la maladie. La période d’incubation est de quatre jours mais elle peut être comprise entre 2 et 10 jours. Neisseria méningitidis ne s’attaque qu’aux humains, il n’y a pas de réservoir animal. Les bactéries peuvent être présentes dans le pharynx et pour des raisons non pas encore ulicidées submergent parfois les défenses de l’organisme de l’organisme, permettant ainsi à l’infection de se propager dans la circulation sanguine et d’atteindre le cerveau on estime qu’entre 10 à 20% sont porteurs de Neisseria méningitidis en temps normal. Mais ce taux peut être plus élevé en cas d’épidemie. 

Prévention 

Trois types de vaccins sont disponibles : – Les vaccins polyosidiques sont disponibles depuis plus de 30 ans pour prévenir la maladie. Les vaccins antiméningoccociques polyosidiques existent sous forme soit bivalente (groupe A et C), soit trivalente (groupe A, C, et W), soit tétrevalente (groupe A, C, Y, et W135) pour lutter contre la maladie. – Concernant le sérogroupe B, il n’est pas possible de préparer des vaccins polyosidiques en raison d’une homotopie antigénique avec les polyosides présents dans les tissus nerveux humains. Le premier vaccin contre Neisseria méningitidis du groupe B (NmB), composé de quatre protéines, a été mis sur le marché en 2014. – Depuis 1999 des vaccins antiméningoccociques conjugués sont disponibles et largement utilisé contre le groupe C. Des vaccins conjugués tétravalents contre les ségroupes A, C, Y, W135 sont homologués depuis 2005 pour utilisation chez les enfants et les adultes aux États-Unis d’Amérique et au Canada et en Europe. En décembre 2010, un nouveau vaccin antiméningoccocique A conjugué a été introduit au Burkina Faso et dans certaines régions du Mali et du Niger (les autres régions ont été couvertes en 2011), ciblant les personnes de 1 3 à 29 ans. En janvier 2015, 217 millions de personnes avaient été vaccinées au moyen de ce nouveau vaccin dans 15 pays nottament au Sénégal et au Burkina Faso.

Impact de l’environnement

La méningite à méningocoques apparait sporadiquement dans le monde entier sous formes de petits groupes de cas avec des variations saisonniers, et représente une proportion variable de la méningite bactériene épidémique. La méningite frappe le plus lourdement une zone de l’Afrique subsaharienne connue pour être « la ceinture de la méningite » qui s’étend du Sénégal à l’Ouest jusqu’à l’Ethiopie à l’Est. Pendant la saison séche entre décembre et juin, les vents chargés de poussiérs les nuits froides et les infections des voies respiratoires supérieures se conjuguent pour endommager la muqueuse rhinopharyngienne augmentant ainsi le risque de méningoccocie. Par ailleurs la transmission de Neisseria méningitidis reste favorisée la promiscuté et les grands déplacements de population qu’engengrent les pélerinages et les marchés traditionnels régionaux. Cette conjonction de facteurs explique les grandes épidemies qui se produisent au cours de cette saison dans la ceinture de la méningite. 

Outils mathématique 

Définitions et propriétes d’un système autonome

 Soit E = R N , N ≥ 1, Ω un sous-ensemble de E et x = (x1, x2, · · · , xN ) un élement de E et f une fonction continue. Pour tout (t, x) ∈ Ω, on notera f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), · · · , fN (t, x)) oú chaque fi est continue de Ω dans R Définition 1.2.1. Une équation différentielle ordinaire du premier ordre s’écrit de la forme dx dt = f(x, t) (1.1) oú t est le temps et x l’état du système. Si la fonction f ne dépend pas explicitement du temps le système est dit autonome dx dt = f(x) (1.2) Le système (1.2) est une équation différentielle linéaire si la fonction f est linéaire. Définition 1.2.2 (Points d’équilibres). Les équilibres x ∗ de (1.2) sont les solutions stationnaires qui vérifient f(x ∗ ) = 0. Une équation différentielle peut admettre un point d’équilibre, plusieurs ou aucun points d’équilibres. Définition 1.2.3. – On appelle trajectoire d’un point x de Ω est l’application : φx : t −→ φx(t) = φ(t, x) – On appelle orbite d’un point x de Ω la partie : γx = {φt(x), t ∈ R} – L’orbite d’un point x de Ω est dite périodique si x n’est pas un point d’équilibre et s’il existe T ∈ R+ tel que φt+T (x) = φt(x), ∀t > 0. On dit alors que T est la période considérée. Définition 1.2.4. Soit x0 ∈ Ω un point d’équilibre du système (1.2). On appelle bassin d’attraction du point d’équilibre x0 ∈ Ω l’ensemble des éléments x ∈ Ω tel que pour tout t ∈ R+, φt(x) soit définie et que lim t→+∞ φt(x) = x0. Définition 1.2.5. Un sous ensemble D de Ω est dit positivement (pesp négativement) invariant relativement au système (1.2) si x(t, D) ⊂ D pour tout t ≥ 0 (resp t ≤ 0). D est dit invariant si x(t, D) = D, ∀t 

Stabilité d’un point d’équilibre 

Définition 1.2.6. Soit x0 ∈ Ω un point d’équilibre du système. On dit que x0 est un point d’équilibre stable pour le système ou que le système est stable en x0, ∀ ≥ 0, ∃δ ∈ R ∗ + tel que pour tout x(0) ∈ Ω avec kx(0) − x0k < δ la solution φt(x(0)) = φ(t, x0) = x(t) et satisfait kx − x0k < . Si de plus il existe δ0 > 0 tel que 0 < δ0 < δ et kx(0) − x0k < δ =⇒ lim t→∞ x(t) = x0 alors x0 est dit asymptotiquement stable. Autre interprétation : Un point d’équilibre est stable si pour tout voisinage, il existe un plus petit voisinage tel que toute trajectoire pénétrant dans le plus petit reste dans le plus grand pour tout temps t. Définition 1.2.7. Point d’équilibre attractif Le point d’équilibre x0 est dit attractif ou que le système (1.2) est attractif en x0, s’il existe un voisinage D ⊂ Ω de x0 tel que pour toute condition initiale x commençant dans D, la solution correspondante φt(x) de (1.2) est définie pour tout t ≥ 0 et tend vers x0 lors que t tend vers infini. En d’autres termes lim t→∞ φt(x) = x0 pour toute condition initiale x ∈ D. Le point x0 est globalement attractif si lim t→∞ φt(x) = x0 pour toute condition initiale x ∈ D Définition 1.2.8. x0 est un point asymptotiquement stable pour le système (1.2) s’il est stable attractif. Définition 1.2.9 (Equilibre globalement asymptotiquement stable). Soit x0 un point d’équilibre du système (1.2). Ce système est globalement asymptotiquement stable en x0 dans Ω s’il est à la fois stable, attractif et son bassin d’attraction est dans Ω tout entier. Nous allons présenter quelques résultats de la théorie de Lyapounov très important dans l’étude de la stabilité du système. 

Fonction de Lyapounov 

Une fonction de Lyapounov est un outil permettant de déterminer la stabilité d’un point d’équilibre d’un point de vue globale et pas seulement local. Par exemple, une fonction de Lyapounov peut être utilisée pour déterminer la stabilité lorsque la linéarisation ne nous permet pas de conclure. Définition 1.2.10 (Fonction définie positive). Soit V ∈ Ω ⊂ E −→ R une fonction continue. – La fonction V est dite définie positive si V (x0) = 0 et V(x)>0 dans un voisinage Ω0 de x0 pour tout x 6= x0 dans ce voisinage. – La fonction de V est dite définie négative si -V est définie positive. – La fonction V est dite semi définie positive si V (x0) = 0 et V (x) > 0 dans un voisinage Ω0 de x0. Définition 1.2.11 (Fonction de Lyapounov). Une fonction de classe C 1 définie positive dont la dérivée par rapport au temps de V est semi définie négative est appelée fonction de Lyapounov large pour le système (1.2). Si de plus V est définie négative alors, V est une fonction de Lyapounov stricte pour le système (1.2). Théorème 1.2.1 (Stabilité au sens de Lyapounov). – Si le système (1.2) admet une fonction de Lyapounov large sur Ω, alors le point d’équilibre x0 est stable.