Modélisation numérique par éléments finis

Implémentation du modèle de Gurson modifié en cisaillement

Cette section décrit la procédure d’intégration numérique des équations constitutives du modèle d’endommagement GTN incluant les extensions de K. Nahshon et J. Hutchinson [98] et de K.L. Nielsen et V. Tvergaard [106] présentées dans la section I.2.3 -. Le modèle de Gurson modifié en cisaillement est implémenté dans le code de calcul par éléments finis ABAQUS/Explicit via une subroutine VUMAT [109]. Le schéma explicite d’intégration temporelle est couramment utilisé dans les problèmes fortement non linéaires [110] la simulation des procédés de formage, en particulier pour la modélisation des phénomènes de la rupture en découpage des tôles. Le développement, dans ABAQUS, d’une loi d’endommagement, compatible avec le shéma explicite, s’effectue par une routine utilisateur (VUMAT). Cette procédure comporte deux étapes principales :  la prédiction du comportement élastique ;  la correction plastique où les contraintes sont intégrées en utilisant une méthode implicite combinée avec un algorithme de retour radial ( [111], [112]). La Figure III-1 montre le principe géométrique de la correction plastique.

 Validation de la procédure sur des éléments simples

Dans cette section, la VUMAT, intégrant le modèle d’endommagement modifié, est vérifié en mettant en œuvre des modèles constitués d’éléments uniques soumis à des chargements unidirectionnels. L’élément cubique à huit nœuds avec intégration réduite (C3D8R) est choisi pour simuler les essais de traction uniaxiale et le cisaillement simple. La Figure III-3 représente les conditions aux limites associées à chaque configuration. La taille initiale d’arête de l’élément est fixée à 1mm. La vitesse de chargement (u3 pour la traction et u2 pour le cisaillement simple) est réglée à 0,01m/s

Essai de traction uniaxiale

La Figure III-4 présente les résultats des simulations pour l’essai de traction uniaxiale. Les courbes montrent l’évolution de la contrainte axiale normalisée ⁄ et la fraction volumique des cavités en fonction de la déformation axiale. Pour une valeur du paramètre kw=0, qui coïncide avec le modèle classique de GTN, les résultats fournis par le modèle implémenté sont parfaitement superposés avec ceux obtenus par le modèle de GTN intégré par défaut dans ABAQUS et qui sert de référence pour tester la validité de l’algorithme développé. Du fait de chargement en traction uniaxiale du cube ( et la fonction ), la valeur de kw (variant de 0 à 3) n’a aucune influence sur l’évolution de la fraction volumique des cavités ni sur l’évolution de contrainte équivalente normalisée.

 Essai de cisaillement simple

Dans le cas de l’essai de cisaillement simple, où et la fonction et afin de simplifier les solutions analytiques utilisées pour valider le modèle implémenté, la rupture est supposée uniquement due à la croissance des cavités. La nucléation des cavités est ainsi négligée et la valeur de f* est choisie égale à f [98]. Pour cette condition de chargement, la vitesse de déformation plastique équivalente et la déformation plastique équivalente sont définies respectivement par les équations (III-19) et (III-20).