Modules d’unités en théorie d’Iwasawa

Dans ce chapitre, on fixe k un corps quadratique imaginaire et p un nombre premier totalement décomposé dans k. Soient p et p¯ les deux idéaux maximaux de Ok au-dessus de p. Par la théorie du corps de classes, il existe une unique Zp-extension k∞ de k nonramifiée en dehors de p. On considère une extension K∞ de degré fini de k∞, abélienne sur k. On pose G∞ := Gal (K∞/k), et on fixe une décomposition 1 G∞ = G × Γ, où G = Gal (K∞/k∞) est le sous-groupe de torsion de G∞ et Γ est un groupe topologique isomorphe à Zp. Remarquons que le choix de Γ est arbitraire, cependant d’après le lemme A.1.5.3, pour n ∈ N le groupe Γn := Γp n ne dépend pas du choix de Γ dès que p n annule le p-Sylow de G. Pour tout n ∈ N, on note Kn le sous-corps de K∞ fixé par Γn. Enfin, on note Λ := Zp [[G∞]] l’algèbre d’Iwasawa (voir la sous-section A.1.2). Dans ce chapitre, nous établissons quelques résultats élémentaires concernant divers Λ-modules d’unités, résultats qui seront utilisés au chapitre 6.

Unités semi-locales

Définitions, notations

Pour toute extension abélienne finie L de k, rappelons que le Z[Gal (L/k)]-module des unités semi-locales O × L,s.l de L au-dessus de p est défini par O × L,s.l := Y P|p O × LP , où le produit est pris sur tous les idéaux premiers de OL au-dessus de p, et où pour un tel idéal P, LP est le complété de L en P. Une unité semi-locale x := (xP)P|p est dite principale si pour tout P|p, xP est congru à 1 modulo l’idéal maximal de OLP . On note UL le pro-p-complété de O × L,s.l . On rappelle que le morphisme canonique O × L,s.l → UL se restreint en un isomorphisme du sous-groupe des unités semi-locales principales vers UL (dans la suite, nous identifions donc UL au sous-groupe des unités semilocales principales). 1Une telle décomposition est possible d’après le lemme A.1.5.1. 55 Modules d’unités en théorie d’Iwasawa. Pour toute extension finie L ′ de L, abélienne sur k, on définit la norme NL′/L : O × L′ ,s.l /O × L,s.l , (xP′)P′ |p  / Q P′ |P NL′ P′/LP (xP′)  P|p . On définit la norme NL′/L : UL′ → UL par restriction. Pour tout n ∈ N, on pose Un := UKn , et on définit U∞ := lim←−n Un, en prenant la limite projective par rapport aux normes. Pour tout idéal maximal P de OK∞ := ∞ ∪ n=0 OKn , on note Pn := P ∩ OKn l’idéal premier2 de OKn en dessous de P. Pour tout n ∈ N, on note Un,P le sous-groupe de O × Kn,Pn formé des unités congrues à 1 modulo l’idéal maximal de OKn,Pn . On pose U∞,P := lim←−n Un,P, en prenant la limite projective par rapport aux normes NKn+1,Pn+1/Kn,Pn . On a alors la décomposition suivante, U∞ = Y P|p U∞,P, où le produit est pris sur tous les idéaux maximaux de OK∞ au-dessus de p (qui sont en nombre fini, puisque K∞/Kn est totalement ramifiée en les places au-dessus de p, pour n assez grand). 5.2.2 Liberté du Qp ⊗Zp Λ-module des unités semi-locales. Soit K∞,P := ∞ ∪ n=0 Kn,Pn . Pour tout n ∈ N ∪ {∞}, on identifie Gal (Kn,Pn/kp) au sous-groupe de décomposition G ′ n de p dans Kn/k. On pose Λ ′ := Zp [[G ′ ∞]]. On fixe une décomposition G ′ ∞ = G ′ × Γ ′ , où G ′ est un groupe fini et Γ ′ est un groupe topologique isomorphe à Zp. Pour tout n ∈ N, on pose Γ ′ n := (Γ′ ) p n . Lemme 5.2.2.1 Soit P un idéal maximal de OK∞ au-dessus de p. Le groupe µp∞ (K∞,P) est fini. Démonstration. On note k ′ la complétion de k en p. Puisque k ′ = Qp, il est bien connu que le noyau du symbole local des résidus normiques (·, k′ (µp∞) /k′ ) : (k ′ ) × → Gal (k ′ (µp∞) /k′ ) est le groupe hpi librement engendré par p (voir par exemple [35, p. 323, Proposition (1.8)]). Supposons µp∞ ⊂ K′ ∞. Alors le noyau du symbole local des résidus normiques (·, K′ ∞/k′ ) : (k ′ ) × → Gal (K′ ∞/k′ ) est un sous-groupe de hpi, d’indice fini car K′ ∞/k′ ∞ est de degré fini. Soit Q un idéal maximal de OK∞ au-dessus de ¯p. On note k ′′ la complétion de k en ¯p. Pour tout n ∈ N, 2L’application P 7→ (Pn)n∈N est une bijection du spectre maximal de OK∞ vers l’ensemble des suites d’idéaux maximaux Pn de OKn telles que Pn+1 ∩ OKn = Pn pour tout n ∈ N. 56 on désigne par k ′ n (resp. k ′′ n ) la complétion de kn en P (resp. Q). On pose k ′ ∞ := n ∪ i=0 k ′ n et k ′′ ∞ := n ∪ i=0 k ′′ n . L’extension k ′′ ∞/k′′ est infinie et non ramifiée. Donc son groupe de Galois est topologiquement engendré par (p, k′′ ∞/k′′). Puisque k∞/k est non ramifiée en dehors de p.