Les réseaux de Petri

Comment réussir à appréhender le comportement des systèmes technologiques de plus en plus complexes, afin de les concevoir, de les réaliser et/ou de les commander à partir d’un cahier des charges ?. Celui-ci est en général défini par différents intervenants, intéressés par les aspects fonctionnels du produit, les besoins du consommateur, les contraintes de coût, le marketing, etc… Du fait de la complexité de plus en plus forte des systèmes technologiques, il apparaît de plus en plus nécessaire de disposer de méthodes et d’outils de conception, de réalisation et/ou de commande qui soient particulièrement efficaces. Au centre de ces méthodes et de ces outils, se trouve en général la modélisation des processus.

La mise en place des feux de signalisation d’un carrefour ou la planification du processus de développement d’une pièce dans une usine demande la modélisation du problème afin de pouvoir le simuler, l’analyser et le vérifier. Ces vérifications peuvent mettre en évidence des disfonctionnements non visibles. Il existe plusieurs langages de modélisation et les outils qui les implémentent. Ces outils, selon les modèles qu’ils représentent, permettent de simuler et de vérifier certaines propriétés. Ceci permet de suivre le fonctionnement du système pour détecter les faiblesses. Pour cela ils peuvent vérifier entre autres..

L’objectif de ce cours est de présenter la modélisation par Réseaux de Petri. Ces Réseaux ont été développés pour permettre la modélisation de classes importantes de systèmes qui recouvrent des classes de systèmes de production, de systèmes automatisés, de systèmes informatiques et de systèmes de communication, pour n’en citer que quelques-uns, afin de permettre leur conception, leur évaluation et leur amélioration. Les Réseaux de Petri ont été inventés par Carl Maria Petri au début des années soixante. Des travaux ultérieurs ont permis de développer les Réseaux de Petri comme un outil de modélisation des systèmes à événement discrets. Le modèle Réseaux de Petri est à l’origine du Grafcet, qui est un langage graphique de spécification et de programmation d’automates industriels. Un atelier est constitué d’une machine de coupe et d’un stock. Quand une commande arrive et que la machine de coupe est disponible, la commande peut être traitée (Opération de découpe).

Une fois le traitement terminé, la commande qui a été traitée est stockée. Sinon, la commande doit attendre que la machine se libère avant de pouvoir être traitée. La présence des jetons dans les places indiquent l’état des ressources du système : Par exemple, dans la place P1, un jeton indique que la machine est libre, alors que l’absence d’un jeton indique que la machine n’est pas disponible. Un jeton dans la place P3 indique qu’une commande est en train d’être traitée par la machine de coupe. Le nombre de jetons dans la place P4 indique le nombre de commandes qui ont été traitées et stockées. La fin de la coupe par la machine se traduit par la suppression du jeton dans la place P3 et par la création d’un jeton dans la place P1 et dans la place P4. (voir règle d’évolution puls loin).

Au cours de l’évolution du système, le marquage est susceptible d’être modifié (voir les règles d’évolution d’un RdP). Le marquage initial, M₀, d’un RdP correspond à la distribution initiale des jetons dans chacune des places du RdP, qui précise l’état initial du système. Dans ce cas, on parle du Rdp Marqué par opposition à un Rdp non marqué, c’est-à-dire pour lequel le marquage initial n’est pas précisé. La présentation faite des Réseaux de Petri est une représentation graphique, alors qu’il est possible d’en faire une représentation mathématique grâce à l’algèbre linéaire. Cette notation permet de représenter un RdP de manière plus formelle mais moins lisible que la représenta­tion graphique.

Ainsi, Pre et Post sont représentés par des matrices à q lignes (nombre de places), n colonnes (nombre de transitions).De manière formelle, une transition est dite sensibilisée si les places situées en amont (places d’entrée) possèdent chacune un nombre de jetons supérieur ou égal au poids des arcs joignant ces places à la transition. Franchir ou tirer une transition consiste à enlever de chaque place d’entrée un nombre de jetons égal au poids de l’arc joignant cette place à la transition et à déposer, dans chaque place aval ou place de sortie, un nombre de jetons égal au poids de l’arc joignant la transition à chacune de ces places. Le franchissement des transitions et les modifications du marquage qu’il entraîne permettent d’analyser la dynamique du système modélisé.