PROBLEMES DE CONTROLES OPTIMAUX DES EDP NON LINEAIRE

Base B-splines

Ce chapritre concerne l’étude de fonctions B-splines dans le cadre de la résolution d’un problème inverse et d’un problème de contrˆole optimal des équations aux dérivées partielles (EDP). Il rassemble les propriétés essentielles de ces fonctions qui seront utilisées dans toute la suite de ce mémoire. Le fait que ces fonctions forment une base leur permet de jouer le mˆeme rˆole que les fonctions de Fourier et autres bases spectrales, mais elles ont une particularité d’avoir des similarités avec les éléments finis de Lagrange. 1.1 Fonctions B-splines et leurs principales propriétés 1.1.1 Définitions et propriétés Considérons une suite de points (ou noeuds ) x0 ≤ x1 ≤ …… ≤ xN = xmax o`u N > 1. On donne la définition suivante. Définition 1.1 Pour tout k ∈ N et k ≤ N − 1, les fonctions B-splines 9 d’ordre k, φi,k(x) pour i = 0, …, N − k − 1 sont déterminées par les relations de récurrence suivantes (1.1) φi,0(x) = 1[xi , xi+1[ et pour k ≥ 1, (1.2) φi,k(x) = µ x − xi xi+k−xi ¶ φi,k−1(x) + µ xi+k+1 − x xi+k+1 − xi+1¶ φi+1,k−1(x) Soit ΩN = {x0, x1, …, xN } une grille de points de R. D’après les relations (1.1) et (1.2), les fonctions B-splines linéaires (k = 1) φ N i pour i = 0, …, N −2 sont données par la relation suivante. (1.3) φ N i (x) = x − xi xi+1 − xi 1[xi, xi+1[ + xi+2 − x xi+2 − xi+1 1[xi+1, xi+2[ . Nous remarquons donc que si x0, x1, …, xN−2 sont des noeuds alors (1.4) φ N i (xk) = δi+1,k Par translation on peut définir les fonctions B-splines linéaires φ N i telles que (1.5) φ N i (xk) = δi,k Trois de ces fonctions sont illustrées dans la figure 1.1. On résume les principales propriétés des fonctions B-splines dans la proposition suivante. Proposition 1.1 On a 1. φi,k est localement un polynˆome de degré k, ∀i = 0, …, N − k − 1 2. Support : La fonction φi,k s’annule en dehors de l’intervalle [xi , xi+k+1[ 10 1 φ φ 0 N N (x) (x) φ N (x) 5 6 φ x x 0 1 3 x x 4 x 5 x 6 = x N x N i (x) x 2 Fig. 1.1 – Trois fonctions B-splines linéaires sur une grille uniforme 3. 0 ≤ φi,k(x) ≤ 1 ∀x ∈]xi , xi+k+1[ 4. Partition de l’unité : sur l’intervalle [xk, xN−k[, on a N−P k−1 i=0 φi,k ≡ 1 5. Différentiabilité : φi,k est de classe C∞`a droite de chaque point. Preuve. Les propriétés 1 `a 3 résultent de la constuction et peuvent ˆetre prouvées par récurrence. Prouvons uniquement les propriétés 4 et 5 de la proposition. Partition de l’unité. Il s’agit de montrer que N X−k−1 i=0 φi,k ≡ 1 sur [xk, xN−k[, k = 0, … Procédons par récurrence. Pour k = 0, on doit vérifier que N X−k−1 i=0 φi,0 ≡ 1 sur [x0, xN [ or φi,0 = 1[xi,xi+1[ . 11 Donc si x ∈ [x0, xN [, ∃µ tq x ∈ [xµ, xµ+1[ et N X−k−1 i=0 φi,0(x) = φµ,0(x) = 1 La propriété est alors vraie `a l’ordre k = 0. Supposons qu’elle est vraie `a l’ordre k. C’est `a dire N X−k−1 i=0 φi,k ≡ 1 sur [xk, xN−k[. Montrons que N X−k−2 i=0 φi,k+1 ≡ 1 sur [xk+1, xN−k−1[. En vertue de (1.2) on a N−P k−2 i=0 φi,k+1 = N−P k−2 i=0 µ x − xi xi+k+1−xi ¶ φi,k(x) + N−P k−2 i=0 µ xi+k+2 − x xi+k+2 − xi+1¶ φi+1,k(x) = N−P k−2 i=0 µ x − xi xi+k+1−xi ¶ φi,k(x) + N−P k−1 i=1 µ xi+k+1 − x xi+k+1 − xi ¶ φi,k(x) = N−P k−1 i=0 µ x − xi xi+k+1−xi ¶ φi,k(x) − µ x − xN−k−1 xN−xN−k−1 ¶ φN−k−1,k(x)+ N−P k−1 i=0 µ xi+k+1 − x xi+k+1 − xi ¶ φi,k(x) − µ xk+1 − x xk+1 − xi ¶ φ0,k(x) = N−P k−1 i=0 φi,k(x) − µ x − xN−k−1 xN−xN−k−1 ¶ φN−k−1,k(x) − µ xk+1 − x xk+1 − xi ¶ φ0,k(x) D’après la propriété de support, la fonction φ0,k est nulle en dehors de l’intervalle [x0, xk+1[ donc a fortiorie sur [xk+1, xN−k[. De mˆeme φN−k−1,k est nulle en dehors de [xN−k−1, xN [ par conséquent elle est nulle sur [xk+1, xN−k[. En vertue de l’hypothèse de récurrence, nous avons N X−k−2 i=0 φi,k+1 ≡ 1 sur [xk+1, xN−k−1[. Il s’ensuit alors que N−P k−1 i=0 φi,k ≡ 1 sur [xk, xN−k[. Différentiabilité. 12 Il suffit de démontrer que ∀k ≥ 0, la fonction φi,k est dérivable `a droite de dérivée (1.6) φ 0 i,k = k ³ t 0 i,kφi,k − t 0 i+1,kφi+1,k−1 ´ On raisonne par récurrence sur k. La formule est vraie pour k = 0. Supposons la établie pour les B-splines de degré inférieur ou égal `a k − 1. En dérivant la relation (1.2), on obtient φ 0 i,k = t 0 i,kφi,k−1 − t 0 i+1,kφi+1,k−1 + ti,kφ 0 i,k−1 + (1 − ti+1,k) φ 0 i+1,K−1 . avec l’hypothèse de récurrence, 1 k − 1 £ ti,kφ 0 i,k−1 + (1 − ti+1,k) φ 0 i+1,k−1 ¤ = ti,kt 0 i,k−1φi,k−2 − ti,kt 0 i+1,k−1φi+1,k−2+ (1 − ti+1,k)t 0 i+1,k−1φi+1,k−2− (1 − ti+1,k)t 0 i+2,k−1φi+2,k−2 or ti,kt 0 i,k−1 = x − xi xi+K − xi × 1 xi+k−1 − xi = x − xi xi+k−1 − xi × 1 xi+k − xi = ti,k−1 × t 0 i,k (1 − ti+1)t 0 i+1,k−1 = xi+k+1−x xi+k+1 − xi+1 × 1 xi+k+1 − xi+2 = xi+k+1 − x xi+k+1 − xi+2 × 1 xi+k+1 − xi+1 = (1 − ti+2,k−1)t 0 i+1,k et ti,kt 0 i+1,k−1 + (1 − ti+1,k)t 0 i+1,k−1 = xi − x (xi+k − xi)(xi+k − xi+1) + xi+k+1 − x (xi+k+1 − xi+1)(xi+k − xi+1) = xi+k − x − (xi+k − xi) (xi+k − xi)(xi+k − xi+1) + xi+1 − x + (xi+k+1 − xi+1) (xi+k+1 − xi+1)(xi+k − xi+1) 13 d’o`u ti,kt 0 i,k−1φi,k−2 − ti,kt 0 i+1,k−1φi+1,k−2+ (1 − ti+1,k)t 0 i+1,kφi+1,k−2− (1 − ti+1,k)t 0 i+2,k−1φi+2,k−2 = t 0 i,kφi,k−1 − t 0 i+1,kφi+1,k−1 il s’ensuit que 1 k − 1 (ti,kφ 0 i,k−1 + (1 − ti+1,k) φ 0 i+1,k−1 ) = t 0 i,kφi,k−1 − t 0 i+1,kφi+1,k−1 donc ti,kφ 0 i,k−1 + (1 − ti+1,k) φ 0 i+1,k−1 = (k − 1) ¡ t 0 i,kφi,k−1 − t 0 i+1,kφi+1,k−1 ¢ = k ¡ t 0 i,kφi,k−1 − t 0 i+1,kφi+1,k−1 ¢ − t 0 i,kφi,k−1 + t 0 i+1,kφi+1,k−1 c’est `a dire t 0 i,kφi,k−1−t 0 i+1,kφi+1,k−1+ti,kφ 0 i,k−1+(1 − ti+1,k) φ 0 i+1,k−1 = k ¡ t 0 i,kφi,k−1 − t 0 i+1,kφi+1,k−1 ¢ . D’o`u φ 0 i,k = k ¡ t 0 i,kφi,k−1 − t 0 i+1,kφi+1,k−1 ¢ Ceci prouve ainsi l’éxistence de la dérivée `a droite de tous ordres. 

Exemple de fonctions

B-splines sur une grille uniforme Nous ne pouvons pas terminer ce paragraphe sans donner quelques exemples et graphes des fonctions B-splines uniformes. Exemple 1.1 φ0,0 = 1[0,1[ 14 et par récurrence on peut calculer {φi,0} N−1 i=0 . Sachant que φ0,1 = x1[0,1[ + (2 − x)1[1,2[ on obtient de mˆeme {φi,1} N−2 i=0 . De mˆeme si φ0,2 = x 2 2 1[0,1[ + −2x 2 + 6x − 3 2 1[1,2[ + (3 − x) 2 2 1[2,3[ alors on a {φi,2} N−3 i=0 et si φ0,3 = x 3 6 1[0,1[ + −3x 3 + 12x 2 − 12x + 4 6 1[1,2[+ 3x 3 − 24x 2 + 60x − 44 6 1[2,3[ + (4 − x) 3 6 1[3,4[ on en déduit {φi,3} N−4 i=0 . Quelques unes de ces fonctions sont illustrées dans les figures 1.2, 1.3 et 1.4. 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 Fig. 1.2 – Trois fonctions B-splines uniformes d’ordre zéro 15 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 Fig. 1.3 – Trois fonctions B-splines uniformes d’ordre un 1 x − −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Fig. 1.4 – Quatre fonctions B-splines uniformes d’ordre deux 16 1.2 Fonctions B-splines et éléments finis de Lagrange On trouve dans cette section la notion d’éléments finis et celle d’éléments finis de Lagrange ; nous y établissons une similarité entre les fonctions Bsplines linéaires et les éléments finis de Lagrange d’ordre un pour une variable d’espace. Définition 1.2 Un élément fini est un triplet (K, P, Σ) o`u i) K est un compact sur R n (n ≥ 1) ii) P un ensemble de fonctions définies de K dans R iii) Σ un ensemble de N formes linéaires sur P (N < ∞) vérifant la proprieté suivante : étant donnés N nombres réels αi, il existe une fonction unique ψ ∈ P telle que gi(Ψ) = αi , i = 1, …, N o`u gi ∈ Σ Lorsque la condition iii) est vérifiée, on dit que l’ensemble Σ est Punisolvant. On montre facilement, dans ce cas que dim P = card(Σ). Définition 1.3 On appelle élément fini de Lagrange d’ordre k, tout élément fini (K, P, Σ) o`u i) P = Pk(K) l’ensemble des polynˆomes de degré ≤ k ii) Σ = {δxi , i = 1, …, N, xi ∈ K} et dim P = N Exemple 1.2 Famille d’éléments finis de Lagrange d’ordre un en 1D Soit la partition K = [ N i=1 Ki 17 avec Ki = [xi−1, xi ]. On associe `a cette partition une famille d’éléments finis {Ki ,P1(Ii), ΣIi , i = 1, …, N} o`u P1(Ii) l’ensemble des polynˆomes de degré ≤ 1 définis sur Ii et ΣIi = © δxi−1 , δxi ª Par suite, On établit aisément que le triplet (K, φ, Σ) o`u φ = {p : K −→ R tq p |Ii ∈ P1(Ii)} et Σ = {δxi , i = 1, …, N} est un élément fini. Une base de cet élément est {ψk} N k=0 o`u ψk les fonctions sont des fonctions affines par morceau telles que ψk |Ii ∈ P1(Ii) vérifiant : (1.7) δxi (Ψk) = Ψk(xi) = δik La figure 1.5 illustre quatre de ces fonctions. Il apparaˆıt clairement que ces fonctions sont des fonctions B-splines linéaires. Remarque 1.1 En considérant une partition uniforme 0 = x0 < x1 < x2 < …. < xN = xmax de l’intervalle [x0, xN ] des fonctions ΨN i ci -dessus constituent des fonctions B-splines linéaires φ N i données par la relation (1.3). Donc des fonctions Bsplines linéaires sont des fonctions de base de Lagrange d’ordre un. Exemple 1.3 Famille d’éléments finis de Lagrange d’ordre deux en 1D.